InfoHub Logo

Жамгирбаева Макбал Асилбековна
«Тараз-Болашақ» медициналық колледжі» ЖШС

Логарифм ең алдымен 16 ғасырда астрономияның тез дамуына, астрономиялық бақылауларды анықтай түсуге және астрономиялық  есептеулер қорытындыларының күрделене түсуіне байланысты ашылды. Алғашқы логарифм таблицаларының авторы геометриялық прогрессиямен оның мүшелерінің дәреже көрсеткіштерінен құралған  арифметикалық прогрессияның қасиеттерінің арасындағы тәуелділікті пайдаланған. Бұл тәуелділіктерді кезінде Архимед (б.з.б. 3 ғ) , француз математигі Н.Шюке (1484ж) мен неміс математигі М.Штифель де (1544) жақсы білген. Алғашқы логарифмдік таблицаларды бір мезгілде және бір-біріне тәуелсіз Д.Непер (1614-1619) және Швейцария математигі И.Бюрги (1620) құрастырған.

Логарифмді теориялық тұрғыдан зерттеуде маңызды қадам жасаған Бельгия математигі Григорий (1647) болды. Логарифм теориясының маңызы зор болған. Ол логарифм ұғымын дәрежелеу кері амал ретінде берген. Логарифм терминін Д.Непер ұсынған. Ол гректің logos (мұнда қатынас) және arithmos (сан) деген сөздерін құрастырудан пайда болған. Ежелгі математикада квадрат, куб т.б. а\в=k түріндегі қатынастарды “екілік” ,”үштік” т.б. қатынастар деп атайды. Сонымен Непер үштік “logu arithmos” деген сөздер қатынастастың санын (еселігін) көрсетеді, яғни Д.Неперше логарифм –екі санының қатынасын өлшеуге арналған көмекші сан.

Логарифмдеу – санның, алгебралық өрнектің логарифмін табу амалы. N санының негізі а болғандағы (а>1),(а≠ 1) логарифмі деп, N саны шығу үшін а саны (логарифм негізі) дәрежеленетін n дәреже көрсеткішін айтады. N санының негізі а болғандағы логарифмі былай белгіленеді: log^аN. Анықтама бойынша log^аN және a=N теңдігі мәндес. Бұдан тек оң сандардың ғана логарифмі болады деген қорытынды шығады, өйткені а>0.

Оң санның берілген негізінде бір ғана нақты логарифмі болады теріс сандардың логарифмдері комплекс сандар болып табылады (М мен N –оң сандар).

Логарифмнің негізгі қасиеттері сандарды көбейту мен бөлуді олардың логарифмін қосу мен азайтуға, ал дәреженің немесе түбірдің көрсеткішіне көбейту мен бөлуге, яғни біршама оңай амалдарға келтіруге мүмкіндік береді.

Егер логарифмнің негізі, яғни а саны 10-ға тең болса ондай логарифмді ондық логаифм деп атайды да, lgN түрінде белгілейді (ондық санау жүйесінде алынғандықтан, ол жиі қолданылады), 10, p/q санынан өзге (мұндағы p мен q бүтін сандар) N санының ондық логарифмі иррационал сан, сондықтан таблицаларда мұндай логарифмдер жуық түрде шекті ондық бөлшекпен беріледі. Ондық логарифмнің бүтін бөлігі оның характеристикасы, ал бөлшек бөлігі мантиссасы деп аталады. Мысалы, lg200=2,3010 мұндағы 2-логарифмнің характеристикасы, ал 0,3010-мантиссасы lg10. N=k+lgN болғандықтан, aйырмашылығы 10 көбейткішінде ғана болатын сандардың, ал характеристикалары әр түрлі логарифм таблицалары осы қасиетке  негізделіп жасалған, онда сандардың тек мантиссалары ғана беріледі.

Жалпы математика мен теориялық мәселелерде негізгі е ≈ 2,71828... трансцендент санға тең болатын логарифмнің маңызы зор. Ол натурал логарифм деп аталады да lnN түрінде белгіленеді. Бір негізді логарифмнен екінші негізді логарифмге ауысуы үшін log N =log N/ log b формуласы қолданылады.

Логарифм түсінігіне тоқталғанда көрсеткіштік функцияның қасиеттерінен туындайтын олардың мынадай қасиеттері қолданылады:

Кез келген а>0 (a≠1) және кез келген оң x пен у мәндерінде мына теңдіктер орындалады:

1. log^а1=0;

2. log^аa=1;

3. log^аxy=log^аx+log^аy;

4. log^а=log^аx–log^аy;

5. log^аx^p=plog^ax.

кез келген нақты р саны үшін.

Қысқаша: дәреженің логарифмі осы дәреженің көрсеткіші мен сол дәреже негізі логарифмінің көбейтіндісіне тең болады дейді.

Логарифмдердің негізгі қасиеттері логарифм енетін өрнектерді түрлендіру барысында кеңінен қолданылады. Мысалы, логарифмнің бір негізінен екіншісіне көшу формуласын дәлелдеп берейік:

logx = .

Бұл формула тендіктің екі жақ бөлігінің де мағынасы болғанда, яғни  x>0, а>0 және a≠1, b>0 және b ≠1 болғанда ғана тура.

Дәрежені логарифмдеу ережесі мен негізгі логарифмдік теңдікті пайдаланып, мынаны табамыз:

logx=log(a)

бұдан

logx =logx·loga

осы теңдіктің екі жағын да log^b- ға бөліп, қажет формуланы шығарып аламыз. Қандай да бір b негізі үшін, логарифмдер кестесі қолда бар болса, көшу формуласын пайдаланып, негізі кез келген а саны болатын логарифмнің мәнін таба аламыз. Ондық және натурал логарифмдердің кестесі аса көп қолданылады.

Мысалы log^0.37–ін табайық. Калькуляторды (немесе кестені) пайдаланып, мынаны табамыз lg7≈0,8451 және lg0,3≈0,477;  -1= -0,5229 олай болса, көшу формуласы бойыншa log^0.37≈ =-1,6162.

Мысалы log²5=a және log²3=b екені белгілі log²300-ін а мен b арқылы өрнектейік. Логарифмдердің негізгі қасиеттерін пайдаланып, мынаны табамыз:

log²300=log²(3∙5²∙2²)=log²3+2log²5+2log²2=b+2a+2.

Мысалы 8a³ өрнегінің 2 негізі бойынша логарифмнің а мен b сандарының негізі 2 болатын логарифмдер арқылы өрнектейік (қысқаша былай дейді: берілген өрнекті 2 негізі бойынша логарифмдейміз).

Логарифмдердің негізгі қасиеттерін пайдаланып, мынаны табамыз:

log(8a)=log (2∙a∙b)=3 log2+3loga+logb=3+3loga+logb.

Анықтама. Мына формуламен берілген

y=log^ax   (1)

функцияны негізі а болатын логарифмдік функция деп атайды.

Логарифмдік функцияның негізгі қасиеттерін атап өтейік.

1. Логарифмдік функцияның анықталу облысы – барлық оң сандар жиыны R, яғни D (log^a)=R.

Шынында да, жоғарыда көрсетілгендей–ақ, әрбір оң х санының негізі бойынша логарифмі болады.

2. Логарифмдік функцияның мәндерінің облысы – барлық нақты сандар жиыны.

Шынында да, логарифмнің анықтамасы бойынша кез келген нақты у үшін мына теңдік орындалады:

log^a(a^y)=y 

яғни y=log^ax функциясы x⁰=a^y0 нүктеде y⁰ мәнін қабылдайды.

3. Логарифмдік функция бүкіл анықталу облысында өседі ( а>1 болғанда), не кемиді (0<а<1 болғанда).

Мысалы, а>1 болғанда функцияның өсетінін дәлелдейік (ал 0<а<1 болғанда осыған ұқсас түрде пайымдалады).

Айталық, х¹ мен х² - қалауымызша алынған оң сандар және х²>х¹ болсын. Сонда log^ax²>log^ax¹ болатынын дәлелдеу керек кері жориық, яғни былай делік:

log^ax²<log^ax¹    (3)

Көрсеткіштік у=a^x функциясы а>1 болғанда өсетін себепті, (3) теңсіздіктен мынау шығады:

a≤a   (4)

Ал бірақ та a=x, a=x  (логарифмнің тапсырмасы бойынша), яғни (4) теңсіздіктен х²≤х¹ шығады. Aл мұның өзі х²>х¹ деген ұйғарымға қайшы.

1-мысал. Мына функцияның анықталу облысын табайық:

f(x)=log⁸(4-5x).

Логарифмдік функцияның анықталу облысы - R жиыны. Сондықтан берілген функция тек 4-5х>0 шарты орындалатындай х мәндерінде ғана анықталған, яғни х<0,8. Олай болса, берілген функцияның анықталу облысы (- ; 0,8) интервалы.

Ең қарапайым логарифмдік функцияны қарастырайық log^ax=b. Логарифмдік функция (0; ) аралығында өседі (не кемиді) және осы аралықта барлық нақты сандарды қабылдайды. Түбір туралы теорема бойынша, бұдан кез келген b үшін берілген теңдеудің түбірі бар және ол тек біреу ғана болатындығы шығады. Санның логарифмінің анықтамасынан а^b саны сол шешім екендігі бірден табылады.

Теңдеуді шешейік log²(x²+4x+3)=2.

Берілген теңдеуді х-тің x+4x+3=2 теңдігі орындалатындай мәндері ғана қанағаттандырады. Сонымен, x+4x-5=0 квадрат теңдеу шықты. Оның түбірлері: 1 мен -5 сандары. Олай болса, берілген теңдеудің шешімі екі сан, олар: 1 мен -5.

2-мысал. Теңдеуді шешейік log⁵(2x+3)=log⁵(x+1). Бұл теңдеу х-тің тек 2x+3>0 және x+1>0 теңсіздіктер орындалатындай мәндерінде ғана анықталады. х-тің мәндері үшін берілген теңдеу 2x+3=x+1 теңдеуімен мәндес. Бұдан x=-2 екенін табамыз. Ал x=-2 саны х+1>0 теңсіздігін қанағаттандырмайды. Олай болса, берілген теңдеудің түбірлері болмайды.

Алдымен логарифмдік функияның әрбір нүктеде дифференциалданатынын көрсетейік. y=log^ax пен y=a^x функцияларының графиктері у=х түзуіне қатысты симметриялы. Көрсеткіштік функция кез келген нүктеде дифференциалданатын болып, ал оның туындысы нөлге айналмайтын болғандықтан, көрсеткіштік функция графигінің әрбір нүктедегі жанамасы горизонталь болмай шығады. Сондықтан логарифмдік функция графигінің кез келген нүктедегі жанамасы вертикаль болып шығады. Ал осының өзі-ақ логарифмдік функция өзінің анықталу облысында дифференциалданады деген сөз.

Енді анықталу облысынан алынған кез келген х үшін логарифмдік функцияның туындысы

lnx=    (5).

Негізі а>1, 0<а<1 болғандағы логарифмдік функцияның графигі әдетте медицинаның кардиология (ЭКГ) саласында жиі қолданылады.

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ:
1. Қазақ энциклопедиясы. Том 7.
2. К.Д.Шойынбеков  Анализ бастамалары Оқу құралы Алматы: «Білім» 2002ж.
3. А.Н.Колмогоров Алгебра және анализ бастамалары Алматы: «Мектеп». 2001ж.

---