InfoHub Logo

1. تۋىندىسى بويىنشا فۋنكسيانى تابۋ جونىندەگى ەسەپتەر.

ءبىز بەرىلگەن تۋىندىسى بويىنشا فۋنكسيانىڭ ءوزىن تابۋمەن بايلانىستى ەكى ەسەپتىڭ شەشىمىن تاپپاقپىز.

1. دەنەنىڭ قوزعالىس زاڭى

S=f(t)

تەڭدەۋ ارقىلى بەرىلگەن. بۇنداعى  t-ۋاقىت، s-دەنەنىڭ جۇرگەن جولى. قاراستىرىلىپ وتىرعان قوزعالىستىڭ بەرىلگەن مەزگىلدەگى لەزدىك جىلدامدىعى v:

فورمۋلاسى بويىنشا انىقتالاتىنى ديففەرەنسيالدىق ەسەپتەۋدەن بەلگىلى بولاتىن.

ال مەحانيكادا بۇعان كەرى ەسەپپەن تىم ءجيى كەزدەسۋگە تۋرا كەلەدى. ونداي ەسەپتەر مىنا تۇردە بولىپ كەلەدى؛ دەنەنىڭ بەرىلگەن  t مەزگىلىندەگى تۋىندىسى v=v(t) بەرىلەدى دە، سول بويىنشا دەنەنىڭ قوزعالۋ زاڭىن تابۋ، ياعني وتكەن مەرزىم مەن جۇرگەن جول اراسىنداعى تاۋەلدىلىكتى انىقتاۋ تالاپ ەتىلەدى. بۇل ەسەپتىڭ شەشىمى بىلاي تابىلادى:

بەرىلگەن جىلدامدىق v=v(t) دەنەنىڭ قوزعالىس زاڭىن بەينەلەيتىن  f(t)  فۋنكسياسىنىڭ تۋىندىسى بولاتىنى بىزگە بەلگىلى، دەمەك ىزدەلىپ وتىرعان بەلگىسىز فۋنكسيا  f(t)ء-تىڭ تۋىندىسى  f’(t)=v(t) بەرىلگەن. بىزدەن سول  f(t)ء-تى تابۋ تالاپ ەتىلەدى. دەمەك، بۇل ەسەپ ديففەرەنسيالدىق ەسەپتەۋدە قاراستىرىلعان نەگىزگى ەسەپكە كەرى ەسەپ بولىپ تابىلادى. باسقاشا ايتقاندا: ديففەرەنسيالدىق ەسەپتەۋدە فۋنكسيا بەرىلىپ، ونىڭ تۋىندىسىن تابۋ تالاپ ەتىلسە، ەندى تۋىندى بەرىلەدى دە، باستاپقى فۋنكسيانى تابۋ ەتىلەدى.   

2.[0، i] كەسىندىسىنە ورنالاسقان دەنەنىڭ سول كەسىندىنىڭ  ح نۇكتەسىندەگى سىزىقتىق تىعىزدىعى p:

فۋنكسياسى تۇرىندە بەرىلەدى. ەندى سول دەنەنىڭ  [0، i] كەسىندىسىنىڭ  [0، x] بولىگىندەگى تىعىزدىعى mء-دى تابۋ كەرەك.  [0،x] بولىگىنىڭ ماسساسى -  x- ءتىڭ فۋنكسياسى، ياعني

m=f(x).

ولاي بولسا، ماسساسىن تابۋ دەگەنىمىز وسى f(x) فۋنكسياسىن تابۋ بولىپ تابىلادى.

x  نۇكتەسىندەگى سىزىقتىق تىعىزدىق p:

فورمۋلاسىمەن انىقتالادى. ەندەشە،

بولادى. ال ەسەپتىڭ شارتى بويىنشا -بەلگىلى فۋنكسيا، دەمەك بەرىلگەن سىزىقتىق تىعىزدىعى بويىنشا دەنەنىڭ ماسساسىن تابۋ دەگەنىمىز بەرىلگەن تۋىندى f’(x) بويىنشا فۋنكسيا f(x)- ءتى  تابۋ جونىندەگى ماسەلە بولادى.

2. العاشقى فۋنكسيا ۇعىمى.

عىلىم مەن تەحنيكانىڭ ءتۇرلى-تۇرلى سالالارىنداعى كوپتەگەن ماسەلەلەردى شەشۋ تۋىندىسى بەرىلگەن فۋنكسيانى تابۋعا اكەلىپ سوقتىرادى. سوندىقتان ماتەماتيكادا جاڭا ءبىر وپەراسيا، ينتەگرالداۋ وپەراسياسى قاراستىرىلادى. ىزدەلىپ وتىرعان F(x) فۋنكسياسىنىڭ بەرىلگەن تۋىندىسى f(x) بويىنشا سول F(x) فۋنكسياسىن تابۋ ماسەلەسى تەك ينتەگرالداۋ وپەراسياسىنىڭ  جاردەمىمەن شەشىلەدى. مىنە وسى  F(x)-ءتى بەرىلگەن فۋنكسيا f(x)ء-تىڭ العاشقى فۋنكسياسى دەپ اتايدى.

انىقتاما. ەگەر ءبىر ارالىقتىڭ ءاربىر نۇكتەسىندە فۋنكسيا F(x) ءۇشىن

dF(x)=f(x)dx

تەڭدىگى ورىندالسا، F(x) فۋنكسياسى f(x)-ءتىڭ سول ارالىقتاعى العاشقى فۋنكسياسى دەپ اتالادى.

مىسالى:  F(x)=x⁷   بۇكىل ساندار ءوسى بويىندا  f(x)=7x⁶  فۋنكسياسىنىڭ العاشقى فۋنكسياسى بولادى، ويتكەنى ءح-تىڭ كەز كەلگەن مانىندە   (x⁷)’=7x^6.

ال فۋنكسيا   F(x)=lnx  فۋنكسيا    f(x)=1/x  ءۇشىن العاشقى فۋنكسيا بولادى

ويتكەنى

(lnx)’=1/x

1-تەورەما.  ەگەر F(x) فۋنكسياسى بەلگىلى ءبىر ارالىقتا f(x)ء-تىڭ العاشقى فۋنكسياسى بولسا،  

F(x)+c

فۋنكسياسىدا (C- كەز كەلگەن تۇراقتى) ول فۋنكسيا ءۇشىن سول ارالىقتا العاشقى فۋنكسيا بولادى.

دالەلەدەۋ: F(x) فۋنكسياسى  f(x) –ءتىڭ العاشقى فۋنكسياسى. ولاي بولسا،

F’(x)=f(x).

سونىمەن بىرگە

[F(x)+C]’=f(x)

دەمەك F(x)+C فۋنكسياسى دا f(x) ءۇشىن العاشقى فۋنكسيا بولادى.

2 تەورەما. بەرىلگەن فۋنكسيانىڭ العاشقى فۋنكسيالارىنىڭ بىر-بىرىنەن ايىرماسى تۇراقتى شاما بولادى.

دالەلدەۋ. ەگەر بەرىلگەن f(x) فۋنكسياسىنىڭ قانداي دا ءبىر العاشقى فۋنكسياسىنىڭ  F(x)، ال، كەز كەلگەن العاشقى فۋنكسياسىن   دەسەك، وندا مىنا شارتتار ورىندالار ەدى:  

ياعني الىنعان ارالىقتا F(x) پەن  فۋنكسيالارىنىڭ تۋىندىلارى بىردەي بولادى. ولاي بولسا، ايىرىمى تۇراقتى بولۋى ءتيىس، ياعني:

بۇدان 

دالەلدەنگەن ەكى تەورەمادان مىناداي قورىتىندى شىعادى: ەگەر  F(x) فۋنكسياسى بەلگىلى ارالىقتا f(x)–ءتىڭ العاشقى فۋنكسيالارىنىڭ ءبىرى بولسا، ونىڭ بارلىق العاشقى فۋنكسيالارىنىڭ جيىنى f(x)+س قوسىندىسىمەن ورنەكتەلەدى. قوسىندىنىڭ گەومەتريالىق ماعناسى: f(x)ء-تىڭ العاشقى فۋنكسياسى F(x)-ءتىڭ گرافيگىن جوعارى نە تومەن جىلجىتۋ ارقىلى كەز كەلگەن العاشقى فۋنكسيانىڭ گرافيگىن سالا الامىز (1 سىزبا).  

3. انىقتالماعان ينتەگرال ۇعىمى

F(x) فۋنكسياسى ديففەرەنسيالداۋ دەپ بەرىلگەن العاشقى F(x) فۋنكسياسىنىڭ  F’(x)= f(x) تۋىندىسىن نەمەسە df(x)=f(x)dx ديففەرەنسيالىن تابۋ امالىن ايتامىز.

سول امالعا كەرى امال، ياعني F’(x) بولىپ تابىلاتىن بەرىلگەن f(x) ءۇشىن العاشقى F(x) فۋنكسياسىن تابۋ امالى f(x)-ءتى ينتەگرالداۋ دەپ اتالادى.

f(x)-ءتى ينتەگرالداۋ امالىن كورسەتۋ ءۇشىن سيمۆولى قولدانىلادى دا، بىلاي جازىلادى:

وسى بەرىلگەن f(x) فۋنكسياسىنىڭ بارلىق العاشقى فۋنكسيالارىنىڭ جيىنىن بەينەلەيدى جانە f(x)-تەن انىقتالماعان ينتەگرال دەپ اتالادى.

دەمەك، انىقتاماعا سايكەس

بولادى. بۇل فورمۋلاداعى F(x) فۋنكسياسى f(x)-تىڭ بەلگىلى ءبىر العاشقى فۋنكسياسى، س-كەز كەلگەن تۇراقتى.

سونىمەن بىرگە f(x)- ينتەگرال استىنداعى فۋنكسيا، ال f(x)dx – ينتەگرال استىنداعى ورنەك دەپ اتالادى.

 -سيمۆولى ۇزارتىلىپ الىنعان لاتىن الفاۆيتىندەگى S- ءارىپى، ول سيمۆولدى ينتەگرالدىڭ بەلگىسى دەپ اتايدى.

 فۋنكسيانى ينتەگرالداۋ جانە ولاردىڭ العاشقى فۋنكسيالارىنىڭ قايەتتەرى جايىنداعى ءىلىم ينتەگرالدىق ەسەپتەۋ دەپ اتالادى.

ديففەرەنسيالدىق ەسەپتەۋ سياقتى ينتەگرالدىق ەسەپتەۋدە ماتەماتيكالىق ءاناليزدىڭ وتە ماڭىزدى بولىمدەرىنىڭ ءبىرى بولىپ تابىلدى. 1-پاراگرافتا قاراستىرىلعان ەسەپتەردىڭ شەشۋىن ەندى ينتەگرال تۇرىندە بىلاي جازۋعا بولادى:

4. انىقتالماعان ينتەگرالدىڭ نەگىزگى قاسيەتتەرى

F’(x)=f(x) جانە ەكەنىن ەسكەرە وتىرىپ انىقتالماعان ينتەگرالدىڭ قاسيەتتەرىن قاراستىرامىز.

1.    ديففەرەنسيالدىڭ انىقتالماعان ينتەگرالى ديففەرەنسيالداعان فۋنكسيا مەن كەز كەلگەن تۇراقتىنىڭ قوسىندىسىنا تەڭ، ياعني 
2.    انىقتالماعان ينتەگرالدىڭ ديففەرەنسيالىن ينتەگرال استىنداعى ورنەككە تەڭ، ياعني
3.    تۇراقتى كوبەيتكىشتى ينتەگرالدىق بەلگىنىڭ الدىنا شىعارۋعا دا، ينتەگرالدىق بەلگىنىڭ استىنا الىپ بارۋعا دا بولادى، ياعني 
4.    بىرنەشە فۋنكسيالاردىڭ الگەبرالىق قوسىندىنىڭ انىقتالماعان ينتەگرالى قوسىلعىشتاردان الىنعان انىقتالماعان ينتەگرالداردىڭ الگەبرالىق قوسىندىسىنا تەڭ، ياعني

5. انىقتالماعان ينتەگرالدىڭ نەگىزگى تابليساسى

ەگەر u ارگۋمەنت  ءح-تىڭ بەلگىلى ءبىر ارالىقتاعى ديففەرەنسيالداناتىن فۋنكسياسى بولسا، بەرىلگەن ديففەرەنسيالدىق ەسەپتەۋدىڭ فورمۋلالارىن پايدالانىپ، انىقتالماعان ينتەگرالدىڭ ىشىندەگى نەگىزگىلەرىنىڭ تابليساسىن جاساۋعا بولادى. بۇل تابليساعا ەنەتىن ءاربىر فورمۋلانىڭ دۇرىستىعىن ديففەرەنسيالداۋ ارقىلى دالەلدەپ كورسەتۋگە بولادى.

وسى كورسەتىلگەن فورۋلاردى پايدالانىپ فۋنكسيانىڭ انىقتالماعان ينتەگرالىن تابۋعا مىسالدار قاراستىرايىق:

 1. ينتەگرالىن ەسەپتەۋ كەرەك.

شەشۋى. (3) فورمۋلا بويىنشا

 ينتەگرالىن تابۋ كەرەك.

شەشۋى: ينتەگرال استىنداعى ورنەكتى جاقشانى اشىپ مىنا تۇرگە كەلتىرەمىز:

قوسىندىنىڭ ينتەگرالىن ينتەگرالداردىڭ قوسىندىسىمەن اۋىستىرساق،

 بولادى

ءۇشىنشى ينتەگرالداعى تۇراقتى كوبەيتكىشتى ينتەگرال تابىسىنىڭ الدىنا شىعارساق،

 تۇرگە  كەلەدى

(2) جانە (3) فورمۋلالاردى قولدانساق

4.       ينتەگرالىن تابۋ كەرەك

شەشۋى: بولشەكتىڭ الىمىن بولىمىنە مۇشەلەپ ءبولىپ، الدىڭعى مىسالداعىداي ەسەپتەيمىز

بەرىلگەن ينتەگرالدى ينتەنگرالداردىڭ قوسىندىسىنا كەلتىرىپ ينتەگرالداۋ قوسىندىسىنا كەلتىرىپ ينتەگرالداۋ ءادىسىن جىكتەۋ ءادىسى دەپ اتايدى. قاراستىرىلعان 3 جانە 4 مىسالدار جىكتەۋ ادىسىمەن شىعارىلادى.

شىمكەنت اگرارلىق كوللەدجى
كتك9-141 توبىنىڭ ستۋدەنتى ابەن اقنيەت
جەتەكشىسى: بەدەبايەۆا ايگۋل ەرسۋلتانوۆنا

---