ستاندارتتى ەمەس پلانيمەتريا ەسەپتەرىن شىعارۋ تاسىلدەرى
ەسەپ شىعارۋ – ەرەكشە وي جۇمىسى. كەز كەلگەن شارتتاردان جانە تالاپتاردان تۇراتىنى بەلگىلى. ەسەپ شىعارۋ دەگەنىمىز – ماتەماتيكانىڭ جالپى زاڭدىلىقتارىن (انىقتامالار، اكسيومالار، تەورەمالار، زاڭدار، فورمۋلالار) ەسەپ شارتىنا نەمەسە ونىڭ سالدارىنا بەلگىلى ءبىر رەتپەن قولدانا وتىرىپ، ەسەپ تالابىنا جاۋاپ بەرۋ بولىپ تابىلادى. سونىمەن ەسەپ شىعارۋ، ونىڭ شارتىنا بەلگىلى ءبىر ماتەماتيكالىق ەرەجەلەردى سايكەس تۇردە قولدانا وتىرىپ، تالابىنا قاراي جىلجيتىن وي قوزعالىسى.
تەورياعا بايلانىستى ستاندارتتى جانە ستاندارتتى ەمەس ەسەپ تۇرلەرى بەلگىلى. دايىن ەرەجەلەردىڭ كومەگىمەن شىعارىلاتىن ەسەپتەر ستاندارتتى دەلىنەدى دە، ال شىعارۋ جولدارى دايىن ەرەجەلەر ارقىلى تابىلا قويمايتىن ەسەپ – ستاندارتتىق ەمەس بولىپ تابىلادى.
قانداي دا بولماسىن ەسەپتى شىعارۋدى نەگىزگى ءتورت كەزەڭگە بولۋگە بولادى:
1. ەسەپتىڭ شارتى مەن تالابىن تەرەڭ ءتۇسىنۋ. ەسەپتى دۇرىس ءتۇسىنىپ الماي، ونى ءارى قاراي جالعاستىرۋ مۇمكىن ەمەس. ەسەپ شىعارۋعا كىرىسپەس بۇرىن ونىڭ مازمۇنىنا تالداۋ جاساپ، نە بەرىلگەنىن، نەنى تابۋ كەرەك ەكەندىگىن انىقتاپ العان قاجەت. بۇل تۇستا ۇقىپتى سىزىلعان سىزبالاردىڭ نەمەسە سۇلبەلەردىڭ ماڭىزى زور. ەسەپتىڭ بەرىلگەن نە ىزدەلىندى ەلەمەنتتەرى بەلگىلەنبەگەن بولسا، وندا ىڭعايلى بەلگىلەۋلەر ەنگىزۋ كەرەك.
2. ەسەپتى شىعارۋدىڭ جوسپارىن قۇرۋ. بۇل – شەشۋشى كەزەڭ. شىعارۋ جوسپارى دۇرىس قۇرىلعاندا عانا ەسەپ قاتەسىز شىعارىلادى. جوسپار قۇرۋ ءۇشىن ەسەپ شىعارۋدىڭ نەگىزگى «كىلتىن» ۇسىناتىن يدەيالارعا بايلانىستى سۇراقتار مەن اقىل-كەڭەستەر جۇيەلى تۇردە قۇرىلعانى ورىندى:
- وسى سياقتى بۇرىن كەزدەسكەن ەسەپتەردى قاراستىرۋ. ەكى ەسەپتىڭ بەرىلگەن جاعدايىن سالىستىرۋ؛
- شىعارىلاتىن ەسەپكە ۇقساستاۋ ەسەپتىڭ جوسپارىن باسشىلىققا الۋ؛
- ەسەپكە جاقىندايتىن بۇرىننان بەلگىلى ەسەپ تابىلماعان جاعدايدا ەسەپ شارتىنداعى ۇعىمداردىڭ انىقتاماسىن پايدالانۋ، قاسيەتتەرىن ەسكە الۋ؛ ەسەپ شارتى مەن تالابىن ماتەماتيكالىق تىلگە كوشىرۋ،
- ەسەپ جوسپارىن قۇرۋ كەزىندە بەرىلگەندەرىنىڭ بارلىعىن قولدانۋ،
- ەسەپ شارتى نەمەسە تالابىن تۇرلەندىرۋ،
جوسپار بويىنشا
3. جوسپاردى جۇزەگە اسىرۋ؛
4. ەسەپتى تياناقتاۋ. جوسپار جۇزەگە اسىرىلعان سوڭ، ونىمەن تىنىپ قالماي ەسەپ شىعارۋ پورسەسىن تاعى دا وي ەلەگىنەن وتكىزۋ كەرەك. مىندەتتى تۇردە ناتيجە مەن شىعارۋ جولى تەكسەرىلەدى. ونىمەن قوسا «ەسەپتى شىعارۋدىڭ باسقاشا جولى بار ما؟»، «ناتيجەنى باسقاشا قالاي الۋعا بولادى؟» ت.ب. سۇراقتارعا جاۋاپ ىزدەپ، تياناقتاعان دۇرىس.
مەكتەپ پلانيمەتريا كۋرسىنا سايكەس ستاندارتتى ەمەس ەسەپتەردى شىعارۋدىڭ جولدارىن قاراستىرايىق.
1 ەسەپ. اۆ حورداسى شەڭبەردىڭ 120º دوعاسىن كەرەدى. س نۇكتەسى وسى دوعانىڭ بويىندا، ال D نۇكتەسى اۆ حورداسىندا جاتادى. مۇنداعى اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ اۋدانىن تاپ.
شەشۋى. و نۇكتەسى – شەڭبەردىڭ سەنترى، R راديۋسى بولسىن. (1 سۋرەت).
وندا
بولسا، وندا ، وسىدان سوندىقتان
وسىدان وDس ىشى تىك بۇرىشتى ەكەندىگى شىعادى. جانە
وندا
سم - اسۆ ءۇشبۇرىشىنىڭ بيىكتىگى بولسىن. سوندا وسىدان
جاۋابى:
2 ەسەپ. سەنترلەرى ءبىر ءتۇزۋدىڭ بويىندا جاتپايتىن، ءوزارا قوس-قوستان قيىلىساتىن جازىقتىقتا جاتقان ءۇش شەڭبەر بەرىلگەن. وسى شەڭبەرلەردىڭ ءاربىر جۇبىنىڭ ورتاق ءۇش حورداسى ءبىر نۇكتەدە قيىلىساتىنىن دالەلدە.
دالەلدەۋى.
شەڭبەرلەرى ۆ نۇكتەسىندە، شەڭبەرلەرى C جانە D نۇكتەلەرىندە، ال شەڭبەرلەرى E جانە F نۇكتەلەرىندە قيىلىساتىن بولسىن. (2 سۋرەت). ەگەر م نۇكتەسى كەسىندىلەرىنىڭ قيىلىسۋ نۇكتەسى بولسا، وندا حوردالاردىڭ قيىلىسۋ كەسىندىسى تۋرالى تەورەما بويىنشا ا جانە م نۇكتەلەرى ارقىلى
شەڭبەرىن ەكىنشى رەت ۆ1 نۇكتەسىندە قياتىن ءتۇزۋ جۇرگىزەمىز. وندا شەڭبەرىنىڭ اۆ1 جانە EF حوردالارى م نۇكتەسىندە قيىلىسادى، سوندىقتان دەمەك، ا، ۆ، س جانە D نۇكتەلەرى ءبىر شەڭبەردىڭ بويىندا جاتادى. ا، س جانە D نۇكتەلەرى ارقىلى ءبىر عانا شەڭبەرى وتەتىندىكتەن، ۆ1 نۇكتەسى ا نۇكتەسىنەن وزگە شەڭبەرلەرىنىڭ ورتاق نۇكتەسى بولادى. دەمەك ۆ1 نۇكتەسى ۆ نۇكتەسىمەن بەتتەسەدى.وسىدان اۆ حورداسى وردالارىنىڭ قيىلىسۋ نۇكتەسى م ارقىلى وتەدى.
دالەلدەۋ كەرەگى وسى بولاتىن.
3 ەسەپ. بەسبۇرىشى شەڭبەرگە ىشتەي سىزىلعان. ا نۇكتەسىنەن ۆس، DC جانە DE تۇزۋلەرىنە دەيىنگى قاشىقتىق سايكەسىنشە a، b، c –عا تەڭ. ا نۇكتەسىنەن ۆە تۇزۋىنە دەيىنگى قاشىقتىقتى تاپ.
شەشۋى:
ا نۇكتەسىنەن BC، DC، DE جانە BE تۇزۋلەرىنە تۇسىرىلگەن پەرپەنديكۋليارلاردىڭ تابانى سايكەسىنشە بولسىن. ءۇشبۇرىشى ءۇشبۇرىشىنا ۇقساس ەكەندىگىن دالەلدەيىك. (3 سۋرەت).شىندىعىندا
نۇكتەلەرى ديامەترى اۆ بولاتىن شەڭبەر بويىندا جاتادى، ال نۇكتەلەرى ديامەترى اD بولاتىن شەڭبەر بويىندا جاتادى.
سوندىقتان دالەلدەۋىمىزدەن ەكەندىگى شىعادى. بۇدان بولاتىنىن تابامىز.
جاۋابى:
4 ەسەپ. شەڭبەر بويىنداعى نۇكتەدەن وسى شەڭبەرگە ىشتەي سىزىلعان دۇرىس ءۇشبۇرىشتىڭ توبەلەرىنە دەيىنگى قاشىقتىق نۇكتەنىڭ شەڭبەر بويىندا ورنالاسۋ جاعدايىنا بايلانىستى بولمايتىن تۇراقتى شاما ەكەندىگىن دالەلدە.
شەشۋى: م نۇكتەسى –اۆس دۇرىس ءۇشبۇرىشى ىشتەي سىزىلعان شەڭبەردىڭ س نۇكتەسى جاتپايتىن اۆ دوعاسىنىڭ بويىنان ەركىن الىنعان نۇكتە بولسىن (4 سۋرەت).
دەپ بەلگىلەيىك.
بىزگە بەلگىلى تەڭدىگىن پايدالانايىق. بولاتىندىقتان، كوسينۋستار تەورەماسى بويىنشا ءۇشبۇرىشىنان تاباتىنىمىز: نەمەسە
ەكەندىگىن پايدالانساق، وندا
كوسينۋستار تەورەماسى بويىنشا ءۇشبۇرىشىنان تاباتىنىمىز: وسى تەڭدەۋدەگى ورنىنا قويىپ، مىنا تەڭدىكتى الامىز: سونىمەن شەڭبەر بويىنان ەركىن الىنعان نۇكتەدەن وسى شەڭبەرگە ىشتەي سىزىلعان دۇرىس ءۇشبۇرىش توبەلەرىنە دەيىنگى قاشىقتىق – تۇراقتى شاما.
5 ەسەپ. اۆس ءۇشبۇرىشىنا ىشتەي سىزىلعان شەڭبەر ۆم مەدياناسىن تەڭ ءۇش بولىككە بولەدى. قاتىناسىن تاپ. ىشتەي سىزىلعان شەڭبەردىڭ ءۇشبۇرىشتىڭ اس، ۆس جانە اۆ قابىرعالارىمەن جاناسۋ نۇكتەلەرى سايكەسىنشە ك، L، N بولسىن. ءۇشبۇرىشتىڭ ۆم مەدياناسى مەن شەڭبەردىڭ قيىلىسۋ نۇكتەلەرىن F، Q دەپ بەلگىلەيىك. (ع نۇكتەسى B جانە Q نۇكتەلەرىنىڭ ورتاسىندا جاتادى). (6 سۋرەت).
ك نۇكتەسى م جانە س نۇكتەلەرىنىڭ ورتاسىندا جاتىر دەپ ۇيعارايىق. سوندا
سوندىقتان
وسىنداي تاسىلمەن سونداي-اق بولسا، وندا
ۆم مەدياناسىن اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ قابىرعالارى ارقىلى ورنەكتەيىك.
نەمەسە
وسى تەڭدەۋدى شەشۋ ارقىلى تاباتىنىمىز:
سوندا
وسىدان الاتىنىمىز:
6 ەسەپ. D نۇكتەسى اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ اس قابىرعاسىندا جاتىر. اۆD ءۇشبۇرىشىنا ىشتەي سىزىلعان راديۋس -كە تەڭ شەڭبەر اۆ قابىرعاسىن م نۇكتەسىندە، ال ۆسD ءۇشبۇرىشىنا ىشتەي سىزىلعان راديۋس - كە تەڭ شەڭبەر ۆس قابىرعاسىن N نۇكتەسىندە جاناپ وتەدى. ەكەنى بەلگىلى بولسا، وندا اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ قابىرعالارىن تاپ.
شەشۋى:
شەڭبەرلەردىڭ سەنترلەرىن و1 جانە و2 دەپ، ال ولاردىڭ اس قابىرعاسىمەن جاناسۋ نۇكتەلەرىن ال P جانە Q، BD قابىرعاسىمەن جاناسۋ نۇكتەلەرىن E جانە F دەپ بەلگىلەيىك. دەپ الايىق. (6 سۋرەتتى قاراڭىز).
سوندا
وسىدان بولعاندىقتان سوندىقتان وسى تەڭدەۋلەردى مۇشەلەپ كوبەيتەمىز. جالپى . وسىدان دەپ الامىز. (ەكىنشى ءتۇبىر سايكەس كەلمەيدى). سوندىقتان، دەپ بەلگىلەپ الايىق. BDC ءۇشبۇرىشىنان كوسينۋستەر تەورەماسى بويىنشا تاباتىنىمىز: وسىدان بولاتىندىعىن ءدال وسىلاي تابامىز. بۇدان شىعاتىنى:
7 ەسەپ. اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ ۆس قابىرعاسى 4 كە، اۆ قابىرعاسى تەڭ. ءۇشبۇرىشتىڭ قابىرعالارىنىڭ ورتاسى ارقىلى وتەتىن شەڭبەردىڭ سەنترى س بۇرىشىنىڭ بيسسەكتريساسىندا جاتاتىنى بەلگىلى. اس قابىرعاسىن تاپ.
شەشۋى: ءۇشبۇرىشتىڭ ۆس، اس جانە اۆ قابىرعالارىنىڭ ورتالارى سايكەسىنشە ا1، ۆ1 جانە س1 بولسىن. و – شەڭبەردىڭ سەنترى، . بولاتىن بولسا، وندا وسىدان بەرىلگەن شەڭبەردىڭ ءراديۋسى مەن ا1ۆ1س ءۇشبۇرىشىنا سىرتتاي سىزىلعان شەڭبەرلەردىڭ راديۋستارى تەڭ بولادى. وس ءتۇزۋى ەكىنشى شەڭبەردى م نۇكتەسىندە قيىپ وتەتىن بولسىن دەيىك. وندا (م نۇكتەسى اسۆ بيسسەكتريساسىندا جاتادى). سوندىقتان، و جانە م نۇكتەلەرى بەتتەسپەيتىن بولسا، وندا ال سو – اسۆ بۇرىشىنىڭ بيسسەكتريساسى بولاتىندىقتان، سا=CB جانە AC=BC=4. بۇل جاعدايدا ال بۇلاي بولۋى مۇمكىن ەمەس. دەمەك، و جانە م نۇكتەلەرى بەتتەسپەيدى دەگەن ۇيعارىم دۇرىس ەمەس. ولاي بولسا، ەكىنشى شەڭبەردىڭ سەنترى بىرىنشىسىندە جاتادى. وندا ياعني جانە دەپ بەلگىلەيىك. سوندا كوسينۋستەر تەورەماسى بويىنشا وسى تەڭدەۋدى شەشىپ، ەكەندىگىن الامىز. جاۋابى: 10.
8 ەسەپ. ءۇشبۇرىشتىڭ بيىكتىكتەرىنىڭ تاباندارىن قوساتىن كەسىندىلەر 8، 15 جانە 17 گە تەڭ. ءۇشبۇرىشتى سىرتتاي سىزىلعان شەڭبەردىڭ راديۋسىن تاپ.
شەشۋى:
ءبىرىنشى ءتاسىل. اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ بيىكتىكتەرى AD، DE جانە CF بولسىن.
بولعاندىقتان، DEF ءۇشبۇرىشى تىكبۇرىشتى، (8 سۋرەت). اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ س بۇرىشىن دەپ بەلگىلەيىك. سوندا CDE ءۇشبۇرىشى ەكى بۇرىشى بويىنشا CAB ءۇشبۇرىشىنا ۇقساس بولادى، ۇقساستىق كوەففيسيەنتى
CDE مەن CAB ءۇشبۇرىشتارىن سىرتتاي سىزىلعان شەڭبەرلەردىڭ راديۋستارى بولسىن. سوندا
وسىدان شىعاتىنى:
جاۋابى: 17.
ەكىنشى ءتاسىل. اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ ۆس، اس جانە اۆ بيىكتىكتەرىنىڭ قيىلىسۋ نۇكتەسى ن جانە وسى بيىكتىكتەر سوزىندىلارىنىڭ ءۇشبۇرىشتى سىرتتاي سىزىلعان شەڭبەرمەن قيىلىسۋ نۇكتەلەرى سايكەسىنشە ن1، ن2، ن3 بولسىن. ن نۇكتەسىمەن ن1، ن2 جانە ن3 نۇكتەلەرىنىڭ بەينەلەرى ۆس، اس جانە اۆ تۇزۋلەرىنە قاراعاندا سيممەتريالى بولادى (8 سۋرەت). ىزدەلىندى راديۋس ن1ن2ن3 ءۇشبۇرىشىن سىرتتاي سىزىلعان شەڭبەردىڭ راديۋسىنا تەڭ بولادى. بۇل ءۇشبۇرىش ۇقساستىق كوەففيسيەنتى 2 بولاتىن FDE ۇشبۇرىشىمەن ۇقساس بولادى.دەمەك، ن1ن2ن3 ءۇشبۇرىشى تىك بۇرىشتى، ونىڭ گيپوتەنۋزاسى ن2ن3 34-كە تەڭ، وسىدان سىرتتاي سىزىلعان شەڭبەردىڭ ءراديۋسى 17-گە تەڭ بولادى.
جاۋابى: 17.
9 ەسەپ. اۆس ءۇشبۇرىشىنا ءارقايسىسى ءۇشبۇرىشتىڭ ەكى قابىرعاسىمەن جاناساتىن ءوزارا تەڭ ءۇش شەڭبەر ىشتەي ورنالاسقان. ۇش شەڭبەردىڭ ورتاق ءبىر نۇكتەسى بار. ەگەر وسى ءۇشبۇرىشتى سىرتتاي جانە ىشتەي سىزىلعان شەڭبەرلەردىڭ راديۋستارى R جانە r بولسا، وندا وسى ءۇش شەڭبەردىڭ راديۋسىن تاپ.
شەشۋى: سايكەسىنشە ا، ۆ جانە س بۇرىشتارىنا ىشتەي سىزىلعان شەڭبەرلەردىڭ سەنترلەرى، م – ولاردىڭ قيىلىسۋ نۇكتەسى، ح - ىزدەلىندى راديۋس بولسىن. شەڭبەرلەرىنىڭ ءراديۋسى ح بولعاندىقتان
ەكىنشى جاعىنان
سوندىقتان وسىدان
جاۋابى:
10 ەسەپ. دوڭەس ءتورتبۇرىشتىڭ اۋدانى وسى ءتورتبۇرىشتىڭ قابىرعالارىنىڭ ورتالارى توبەلەرى بولاتىن ءتورتبۇرىشتىڭ اۋدانىنان ەكى ەسە ۇلكەن بولاتىنىن دالەلدە.
شەشۋى:
بەرىلگەن ABCD ءتورتبۇرىشىنىڭ قابىرعالارىنىڭ ورتالارى E، F، K، L بولسىن. (10 سۋرەت). ABC ءۇشبۇرىشىنىڭ EF ورتا سىزىعى ودان BEF ءۇشبۇرىشىن قيىپ تۇسەدى، ونىڭ اۋدانى ABC ءۇشبۇرىشىنىڭ اۋدانىنىڭ . وسى سياقتى بۇل تەڭدىكتەردى مۇشەلەپ قوسىپ، مىنانى الامىز: . ءدال وسىلايشا بولاتىنىن دالەلدەيمىز. سونىمەن ABCD ءتورتبۇرىشىنان EFKL پاراللەلوگرامىنىڭ قابىرعالارىمەن قيىلىپ الىنعان ءۇشبۇرىشتاردىڭ اۋداندارىنىڭ قوسىندىسى - عا تەڭ. ولاي بولسا .
11 ەسەپ. اۋدانى S بولاتىن ءسۇيىر بۇرىشتى ءۇشبۇرىشتىڭ ءاربىر قابىرعاسىنىڭ ورتاسىنان ونىڭ وزگە ەكى قابىرعاسىنا پەرپەنديكۋليارلار جۇرگىزىلگەن. وسى پەرپەنديكۋليارلارمەن شەكتەلگەن التىبۇرىشتىڭ اۋدانىن تاپ.
شەشۋى: ا1،ۆ1 جانە س1 نۇكتەلەرى اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ سايكەسىنشە ۆس، اس، جانە اۆ قابىرعالارىنىڭ ورتاسى بولسىن، ال ن1، ن2 جانە ن3 نۇكتەلەرى ەسەپ شارتىندا كورسەتىلگەن پەرپەنديكۋليارلاردىڭ قوس-قوستان قيىلىسۋ نۇكتەسى بولسىن.
اۆس ءۇشبۇرىشى ءسۇيىر بۇرىشتى بولعاندىقتان، بۇل نۇكتەلەر ءۇشبۇرىشتىڭ ىشىندە جاتادى. (11 سۋرەت).
ا1ۆ1، ۆ1س1، س1ا1 ورتا سىزىقتارى بەرىلگەن ءۇشبۇرىشتى تەڭ ءتورت ءۇشبۇرىشقا بولەدى. وسىدان ا1ۆ1س1 ءۇشبۇرىشىنىڭ اۋدانى ەكەنى شىعادى. سونىمەن قاتار ا1ن1ۆ1، ۆ1ن2س1 جانە س1ن3ا1 ءۇشبۇرىشتارىنان اۋدانى كە تەڭ ا1سۆ1 ءۇشبۇرىشىن الۋعا بولادى.
ا1ن1ۆ1ن2س1ن3 التىبۇرىشىنىڭ اۋدانى قاراستىرىلعان ءتورت ءۇشبۇرىش اۋدانىنىڭ قوسىندىسىنا، ياعني -كە تەڭ ەكەندىگى شىعادى.
قاراستىرىلعان ستاندارتتى ەمەس پلانيمەتريا ەسەپتەرىن ماتەماتيكا ءپانىن تەرەڭدەتىپ وقيتىن جانە وليمپياداعا دايىندالاتىن وقۋشىلار باسشىلىققا الۋعا بولادى.
تەورياعا بايلانىستى ستاندارتتى جانە ستاندارتتى ەمەس ەسەپ تۇرلەرى بەلگىلى. دايىن ەرەجەلەردىڭ كومەگىمەن شىعارىلاتىن ەسەپتەر ستاندارتتى دەلىنەدى دە، ال شىعارۋ جولدارى دايىن ەرەجەلەر ارقىلى تابىلا قويمايتىن ەسەپ – ستاندارتتىق ەمەس بولىپ تابىلادى.
قانداي دا بولماسىن ەسەپتى شىعارۋدى نەگىزگى ءتورت كەزەڭگە بولۋگە بولادى:
1. ەسەپتىڭ شارتى مەن تالابىن تەرەڭ ءتۇسىنۋ. ەسەپتى دۇرىس ءتۇسىنىپ الماي، ونى ءارى قاراي جالعاستىرۋ مۇمكىن ەمەس. ەسەپ شىعارۋعا كىرىسپەس بۇرىن ونىڭ مازمۇنىنا تالداۋ جاساپ، نە بەرىلگەنىن، نەنى تابۋ كەرەك ەكەندىگىن انىقتاپ العان قاجەت. بۇل تۇستا ۇقىپتى سىزىلعان سىزبالاردىڭ نەمەسە سۇلبەلەردىڭ ماڭىزى زور. ەسەپتىڭ بەرىلگەن نە ىزدەلىندى ەلەمەنتتەرى بەلگىلەنبەگەن بولسا، وندا ىڭعايلى بەلگىلەۋلەر ەنگىزۋ كەرەك.
2. ەسەپتى شىعارۋدىڭ جوسپارىن قۇرۋ. بۇل – شەشۋشى كەزەڭ. شىعارۋ جوسپارى دۇرىس قۇرىلعاندا عانا ەسەپ قاتەسىز شىعارىلادى. جوسپار قۇرۋ ءۇشىن ەسەپ شىعارۋدىڭ نەگىزگى «كىلتىن» ۇسىناتىن يدەيالارعا بايلانىستى سۇراقتار مەن اقىل-كەڭەستەر جۇيەلى تۇردە قۇرىلعانى ورىندى:
- وسى سياقتى بۇرىن كەزدەسكەن ەسەپتەردى قاراستىرۋ. ەكى ەسەپتىڭ بەرىلگەن جاعدايىن سالىستىرۋ؛
- شىعارىلاتىن ەسەپكە ۇقساستاۋ ەسەپتىڭ جوسپارىن باسشىلىققا الۋ؛
- ەسەپكە جاقىندايتىن بۇرىننان بەلگىلى ەسەپ تابىلماعان جاعدايدا ەسەپ شارتىنداعى ۇعىمداردىڭ انىقتاماسىن پايدالانۋ، قاسيەتتەرىن ەسكە الۋ؛ ەسەپ شارتى مەن تالابىن ماتەماتيكالىق تىلگە كوشىرۋ،
- ەسەپ جوسپارىن قۇرۋ كەزىندە بەرىلگەندەرىنىڭ بارلىعىن قولدانۋ،
- ەسەپ شارتى نەمەسە تالابىن تۇرلەندىرۋ،
جوسپار بويىنشا
3. جوسپاردى جۇزەگە اسىرۋ؛
4. ەسەپتى تياناقتاۋ. جوسپار جۇزەگە اسىرىلعان سوڭ، ونىمەن تىنىپ قالماي ەسەپ شىعارۋ پورسەسىن تاعى دا وي ەلەگىنەن وتكىزۋ كەرەك. مىندەتتى تۇردە ناتيجە مەن شىعارۋ جولى تەكسەرىلەدى. ونىمەن قوسا «ەسەپتى شىعارۋدىڭ باسقاشا جولى بار ما؟»، «ناتيجەنى باسقاشا قالاي الۋعا بولادى؟» ت.ب. سۇراقتارعا جاۋاپ ىزدەپ، تياناقتاعان دۇرىس.
مەكتەپ پلانيمەتريا كۋرسىنا سايكەس ستاندارتتى ەمەس ەسەپتەردى شىعارۋدىڭ جولدارىن قاراستىرايىق.
1 ەسەپ. اۆ حورداسى شەڭبەردىڭ 120º دوعاسىن كەرەدى. س نۇكتەسى وسى دوعانىڭ بويىندا، ال D نۇكتەسى اۆ حورداسىندا جاتادى. مۇنداعى اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ اۋدانىن تاپ.
شەشۋى. و نۇكتەسى – شەڭبەردىڭ سەنترى، R راديۋسى بولسىن. (1 سۋرەت).
وندا
بولسا، وندا ، وسىدان سوندىقتان
وسىدان وDس ىشى تىك بۇرىشتى ەكەندىگى شىعادى. جانە
وندا
سم - اسۆ ءۇشبۇرىشىنىڭ بيىكتىگى بولسىن. سوندا وسىدان
جاۋابى:
2 ەسەپ. سەنترلەرى ءبىر ءتۇزۋدىڭ بويىندا جاتپايتىن، ءوزارا قوس-قوستان قيىلىساتىن جازىقتىقتا جاتقان ءۇش شەڭبەر بەرىلگەن. وسى شەڭبەرلەردىڭ ءاربىر جۇبىنىڭ ورتاق ءۇش حورداسى ءبىر نۇكتەدە قيىلىساتىنىن دالەلدە.
دالەلدەۋى.
شەڭبەرلەرى ۆ نۇكتەسىندە، شەڭبەرلەرى C جانە D نۇكتەلەرىندە، ال شەڭبەرلەرى E جانە F نۇكتەلەرىندە قيىلىساتىن بولسىن. (2 سۋرەت). ەگەر م نۇكتەسى كەسىندىلەرىنىڭ قيىلىسۋ نۇكتەسى بولسا، وندا حوردالاردىڭ قيىلىسۋ كەسىندىسى تۋرالى تەورەما بويىنشا ا جانە م نۇكتەلەرى ارقىلى
شەڭبەرىن ەكىنشى رەت ۆ1 نۇكتەسىندە قياتىن ءتۇزۋ جۇرگىزەمىز. وندا شەڭبەرىنىڭ اۆ1 جانە EF حوردالارى م نۇكتەسىندە قيىلىسادى، سوندىقتان دەمەك، ا، ۆ، س جانە D نۇكتەلەرى ءبىر شەڭبەردىڭ بويىندا جاتادى. ا، س جانە D نۇكتەلەرى ارقىلى ءبىر عانا شەڭبەرى وتەتىندىكتەن، ۆ1 نۇكتەسى ا نۇكتەسىنەن وزگە شەڭبەرلەرىنىڭ ورتاق نۇكتەسى بولادى. دەمەك ۆ1 نۇكتەسى ۆ نۇكتەسىمەن بەتتەسەدى.وسىدان اۆ حورداسى وردالارىنىڭ قيىلىسۋ نۇكتەسى م ارقىلى وتەدى.
دالەلدەۋ كەرەگى وسى بولاتىن.
3 ەسەپ. بەسبۇرىشى شەڭبەرگە ىشتەي سىزىلعان. ا نۇكتەسىنەن ۆس، DC جانە DE تۇزۋلەرىنە دەيىنگى قاشىقتىق سايكەسىنشە a، b، c –عا تەڭ. ا نۇكتەسىنەن ۆە تۇزۋىنە دەيىنگى قاشىقتىقتى تاپ.
شەشۋى:
ا نۇكتەسىنەن BC، DC، DE جانە BE تۇزۋلەرىنە تۇسىرىلگەن پەرپەنديكۋليارلاردىڭ تابانى سايكەسىنشە بولسىن. ءۇشبۇرىشى ءۇشبۇرىشىنا ۇقساس ەكەندىگىن دالەلدەيىك. (3 سۋرەت).شىندىعىندا
نۇكتەلەرى ديامەترى اۆ بولاتىن شەڭبەر بويىندا جاتادى، ال نۇكتەلەرى ديامەترى اD بولاتىن شەڭبەر بويىندا جاتادى.
سوندىقتان دالەلدەۋىمىزدەن ەكەندىگى شىعادى. بۇدان بولاتىنىن تابامىز.
جاۋابى:
4 ەسەپ. شەڭبەر بويىنداعى نۇكتەدەن وسى شەڭبەرگە ىشتەي سىزىلعان دۇرىس ءۇشبۇرىشتىڭ توبەلەرىنە دەيىنگى قاشىقتىق نۇكتەنىڭ شەڭبەر بويىندا ورنالاسۋ جاعدايىنا بايلانىستى بولمايتىن تۇراقتى شاما ەكەندىگىن دالەلدە.
شەشۋى: م نۇكتەسى –اۆس دۇرىس ءۇشبۇرىشى ىشتەي سىزىلعان شەڭبەردىڭ س نۇكتەسى جاتپايتىن اۆ دوعاسىنىڭ بويىنان ەركىن الىنعان نۇكتە بولسىن (4 سۋرەت).
دەپ بەلگىلەيىك.
بىزگە بەلگىلى تەڭدىگىن پايدالانايىق. بولاتىندىقتان، كوسينۋستار تەورەماسى بويىنشا ءۇشبۇرىشىنان تاباتىنىمىز: نەمەسە
ەكەندىگىن پايدالانساق، وندا
كوسينۋستار تەورەماسى بويىنشا ءۇشبۇرىشىنان تاباتىنىمىز: وسى تەڭدەۋدەگى ورنىنا قويىپ، مىنا تەڭدىكتى الامىز: سونىمەن شەڭبەر بويىنان ەركىن الىنعان نۇكتەدەن وسى شەڭبەرگە ىشتەي سىزىلعان دۇرىس ءۇشبۇرىش توبەلەرىنە دەيىنگى قاشىقتىق – تۇراقتى شاما.
5 ەسەپ. اۆس ءۇشبۇرىشىنا ىشتەي سىزىلعان شەڭبەر ۆم مەدياناسىن تەڭ ءۇش بولىككە بولەدى. قاتىناسىن تاپ. ىشتەي سىزىلعان شەڭبەردىڭ ءۇشبۇرىشتىڭ اس، ۆس جانە اۆ قابىرعالارىمەن جاناسۋ نۇكتەلەرى سايكەسىنشە ك، L، N بولسىن. ءۇشبۇرىشتىڭ ۆم مەدياناسى مەن شەڭبەردىڭ قيىلىسۋ نۇكتەلەرىن F، Q دەپ بەلگىلەيىك. (ع نۇكتەسى B جانە Q نۇكتەلەرىنىڭ ورتاسىندا جاتادى). (6 سۋرەت).
ك نۇكتەسى م جانە س نۇكتەلەرىنىڭ ورتاسىندا جاتىر دەپ ۇيعارايىق. سوندا
سوندىقتان
وسىنداي تاسىلمەن سونداي-اق بولسا، وندا
ۆم مەدياناسىن اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ قابىرعالارى ارقىلى ورنەكتەيىك.
نەمەسە
وسى تەڭدەۋدى شەشۋ ارقىلى تاباتىنىمىز:
سوندا
وسىدان الاتىنىمىز:
6 ەسەپ. D نۇكتەسى اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ اس قابىرعاسىندا جاتىر. اۆD ءۇشبۇرىشىنا ىشتەي سىزىلعان راديۋس -كە تەڭ شەڭبەر اۆ قابىرعاسىن م نۇكتەسىندە، ال ۆسD ءۇشبۇرىشىنا ىشتەي سىزىلعان راديۋس - كە تەڭ شەڭبەر ۆس قابىرعاسىن N نۇكتەسىندە جاناپ وتەدى. ەكەنى بەلگىلى بولسا، وندا اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ قابىرعالارىن تاپ.
شەشۋى:
شەڭبەرلەردىڭ سەنترلەرىن و1 جانە و2 دەپ، ال ولاردىڭ اس قابىرعاسىمەن جاناسۋ نۇكتەلەرىن ال P جانە Q، BD قابىرعاسىمەن جاناسۋ نۇكتەلەرىن E جانە F دەپ بەلگىلەيىك. دەپ الايىق. (6 سۋرەتتى قاراڭىز).
سوندا
وسىدان بولعاندىقتان سوندىقتان وسى تەڭدەۋلەردى مۇشەلەپ كوبەيتەمىز. جالپى . وسىدان دەپ الامىز. (ەكىنشى ءتۇبىر سايكەس كەلمەيدى). سوندىقتان، دەپ بەلگىلەپ الايىق. BDC ءۇشبۇرىشىنان كوسينۋستەر تەورەماسى بويىنشا تاباتىنىمىز: وسىدان بولاتىندىعىن ءدال وسىلاي تابامىز. بۇدان شىعاتىنى:
7 ەسەپ. اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ ۆس قابىرعاسى 4 كە، اۆ قابىرعاسى تەڭ. ءۇشبۇرىشتىڭ قابىرعالارىنىڭ ورتاسى ارقىلى وتەتىن شەڭبەردىڭ سەنترى س بۇرىشىنىڭ بيسسەكتريساسىندا جاتاتىنى بەلگىلى. اس قابىرعاسىن تاپ.
شەشۋى: ءۇشبۇرىشتىڭ ۆس، اس جانە اۆ قابىرعالارىنىڭ ورتالارى سايكەسىنشە ا1، ۆ1 جانە س1 بولسىن. و – شەڭبەردىڭ سەنترى، . بولاتىن بولسا، وندا وسىدان بەرىلگەن شەڭبەردىڭ ءراديۋسى مەن ا1ۆ1س ءۇشبۇرىشىنا سىرتتاي سىزىلعان شەڭبەرلەردىڭ راديۋستارى تەڭ بولادى. وس ءتۇزۋى ەكىنشى شەڭبەردى م نۇكتەسىندە قيىپ وتەتىن بولسىن دەيىك. وندا (م نۇكتەسى اسۆ بيسسەكتريساسىندا جاتادى). سوندىقتان، و جانە م نۇكتەلەرى بەتتەسپەيتىن بولسا، وندا ال سو – اسۆ بۇرىشىنىڭ بيسسەكتريساسى بولاتىندىقتان، سا=CB جانە AC=BC=4. بۇل جاعدايدا ال بۇلاي بولۋى مۇمكىن ەمەس. دەمەك، و جانە م نۇكتەلەرى بەتتەسپەيدى دەگەن ۇيعارىم دۇرىس ەمەس. ولاي بولسا، ەكىنشى شەڭبەردىڭ سەنترى بىرىنشىسىندە جاتادى. وندا ياعني جانە دەپ بەلگىلەيىك. سوندا كوسينۋستەر تەورەماسى بويىنشا وسى تەڭدەۋدى شەشىپ، ەكەندىگىن الامىز. جاۋابى: 10.
8 ەسەپ. ءۇشبۇرىشتىڭ بيىكتىكتەرىنىڭ تاباندارىن قوساتىن كەسىندىلەر 8، 15 جانە 17 گە تەڭ. ءۇشبۇرىشتى سىرتتاي سىزىلعان شەڭبەردىڭ راديۋسىن تاپ.
شەشۋى:
ءبىرىنشى ءتاسىل. اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ بيىكتىكتەرى AD، DE جانە CF بولسىن.
بولعاندىقتان، DEF ءۇشبۇرىشى تىكبۇرىشتى، (8 سۋرەت). اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ س بۇرىشىن دەپ بەلگىلەيىك. سوندا CDE ءۇشبۇرىشى ەكى بۇرىشى بويىنشا CAB ءۇشبۇرىشىنا ۇقساس بولادى، ۇقساستىق كوەففيسيەنتى
CDE مەن CAB ءۇشبۇرىشتارىن سىرتتاي سىزىلعان شەڭبەرلەردىڭ راديۋستارى بولسىن. سوندا
وسىدان شىعاتىنى:
جاۋابى: 17.
ەكىنشى ءتاسىل. اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ ۆس، اس جانە اۆ بيىكتىكتەرىنىڭ قيىلىسۋ نۇكتەسى ن جانە وسى بيىكتىكتەر سوزىندىلارىنىڭ ءۇشبۇرىشتى سىرتتاي سىزىلعان شەڭبەرمەن قيىلىسۋ نۇكتەلەرى سايكەسىنشە ن1، ن2، ن3 بولسىن. ن نۇكتەسىمەن ن1، ن2 جانە ن3 نۇكتەلەرىنىڭ بەينەلەرى ۆس، اس جانە اۆ تۇزۋلەرىنە قاراعاندا سيممەتريالى بولادى (8 سۋرەت). ىزدەلىندى راديۋس ن1ن2ن3 ءۇشبۇرىشىن سىرتتاي سىزىلعان شەڭبەردىڭ راديۋسىنا تەڭ بولادى. بۇل ءۇشبۇرىش ۇقساستىق كوەففيسيەنتى 2 بولاتىن FDE ۇشبۇرىشىمەن ۇقساس بولادى.دەمەك، ن1ن2ن3 ءۇشبۇرىشى تىك بۇرىشتى، ونىڭ گيپوتەنۋزاسى ن2ن3 34-كە تەڭ، وسىدان سىرتتاي سىزىلعان شەڭبەردىڭ ءراديۋسى 17-گە تەڭ بولادى.
جاۋابى: 17.
9 ەسەپ. اۆس ءۇشبۇرىشىنا ءارقايسىسى ءۇشبۇرىشتىڭ ەكى قابىرعاسىمەن جاناساتىن ءوزارا تەڭ ءۇش شەڭبەر ىشتەي ورنالاسقان. ۇش شەڭبەردىڭ ورتاق ءبىر نۇكتەسى بار. ەگەر وسى ءۇشبۇرىشتى سىرتتاي جانە ىشتەي سىزىلعان شەڭبەرلەردىڭ راديۋستارى R جانە r بولسا، وندا وسى ءۇش شەڭبەردىڭ راديۋسىن تاپ.
شەشۋى: سايكەسىنشە ا، ۆ جانە س بۇرىشتارىنا ىشتەي سىزىلعان شەڭبەرلەردىڭ سەنترلەرى، م – ولاردىڭ قيىلىسۋ نۇكتەسى، ح - ىزدەلىندى راديۋس بولسىن. شەڭبەرلەرىنىڭ ءراديۋسى ح بولعاندىقتان
ەكىنشى جاعىنان
سوندىقتان وسىدان
جاۋابى:
10 ەسەپ. دوڭەس ءتورتبۇرىشتىڭ اۋدانى وسى ءتورتبۇرىشتىڭ قابىرعالارىنىڭ ورتالارى توبەلەرى بولاتىن ءتورتبۇرىشتىڭ اۋدانىنان ەكى ەسە ۇلكەن بولاتىنىن دالەلدە.
شەشۋى:
بەرىلگەن ABCD ءتورتبۇرىشىنىڭ قابىرعالارىنىڭ ورتالارى E، F، K، L بولسىن. (10 سۋرەت). ABC ءۇشبۇرىشىنىڭ EF ورتا سىزىعى ودان BEF ءۇشبۇرىشىن قيىپ تۇسەدى، ونىڭ اۋدانى ABC ءۇشبۇرىشىنىڭ اۋدانىنىڭ . وسى سياقتى بۇل تەڭدىكتەردى مۇشەلەپ قوسىپ، مىنانى الامىز: . ءدال وسىلايشا بولاتىنىن دالەلدەيمىز. سونىمەن ABCD ءتورتبۇرىشىنان EFKL پاراللەلوگرامىنىڭ قابىرعالارىمەن قيىلىپ الىنعان ءۇشبۇرىشتاردىڭ اۋداندارىنىڭ قوسىندىسى - عا تەڭ. ولاي بولسا .
11 ەسەپ. اۋدانى S بولاتىن ءسۇيىر بۇرىشتى ءۇشبۇرىشتىڭ ءاربىر قابىرعاسىنىڭ ورتاسىنان ونىڭ وزگە ەكى قابىرعاسىنا پەرپەنديكۋليارلار جۇرگىزىلگەن. وسى پەرپەنديكۋليارلارمەن شەكتەلگەن التىبۇرىشتىڭ اۋدانىن تاپ.
شەشۋى: ا1،ۆ1 جانە س1 نۇكتەلەرى اۆس ءۇشبۇرىشىنىڭ سايكەسىنشە ۆس، اس، جانە اۆ قابىرعالارىنىڭ ورتاسى بولسىن، ال ن1، ن2 جانە ن3 نۇكتەلەرى ەسەپ شارتىندا كورسەتىلگەن پەرپەنديكۋليارلاردىڭ قوس-قوستان قيىلىسۋ نۇكتەسى بولسىن.
اۆس ءۇشبۇرىشى ءسۇيىر بۇرىشتى بولعاندىقتان، بۇل نۇكتەلەر ءۇشبۇرىشتىڭ ىشىندە جاتادى. (11 سۋرەت).
ا1ۆ1، ۆ1س1، س1ا1 ورتا سىزىقتارى بەرىلگەن ءۇشبۇرىشتى تەڭ ءتورت ءۇشبۇرىشقا بولەدى. وسىدان ا1ۆ1س1 ءۇشبۇرىشىنىڭ اۋدانى ەكەنى شىعادى. سونىمەن قاتار ا1ن1ۆ1، ۆ1ن2س1 جانە س1ن3ا1 ءۇشبۇرىشتارىنان اۋدانى كە تەڭ ا1سۆ1 ءۇشبۇرىشىن الۋعا بولادى.
ا1ن1ۆ1ن2س1ن3 التىبۇرىشىنىڭ اۋدانى قاراستىرىلعان ءتورت ءۇشبۇرىش اۋدانىنىڭ قوسىندىسىنا، ياعني -كە تەڭ ەكەندىگى شىعادى.
قاراستىرىلعان ستاندارتتى ەمەس پلانيمەتريا ەسەپتەرىن ماتەماتيكا ءپانىن تەرەڭدەتىپ وقيتىن جانە وليمپياداعا دايىندالاتىن وقۋشىلار باسشىلىققا الۋعا بولادى.
You Might Also Like
-
"ۇلتتىق ويىندار – ءتان مەن جان ساۋلىعى" سىنىپتان تىس شارا
