InfoHub Logo

XVI ǵ. İshinde alýan túrli esepterdi sheshý barysynda jýyq esepter oryndaýmen baılanysty jumystardyń kólemi kenet ósken , atap aıtqanda, birinshi kezekte praktıka júzinde tikeleı qoldanylatyn astronomıa esepteri dep atalady. Kóbeıtý men bólý amaldaryn oryndaǵanda qandaı zor problemalardyń týyndaǵanyn túsiný qıyn emes. Sol amaldardy qosýǵa keltirý arqyly jarym-jartylaı yqshamdamaq ta bolady (mysaly, 1-den 100 000-ǵa deıingi bútin sandar kvadrattarynyń kestesi quryldy, bulardy paıdalanyp,  formýlasy boıynsha kóbeıtindilerdi eseptep shyǵarý múmkin edi), biraq bunyń barlyǵy kóp jeńildik ákelmedi. Sondyqtan sandardy kóbeıtý men bólýdi sandardyń logarıfmderin qosý men azaıtýǵa ákep saıatyn logarıfmderdiń tabylýy , Laplas aıtqandaı, matematıkterdiń ómirin uzarta tústi.

Logarıfmder praktıkaǵa asa shapshań sińisip ketti. Logarıfmderdiń oılap shyǵarýshylar jańa teorıany taldaýmen shektelip qoıǵan joq.  İs júzinde qoldanatyn quraldy da oılap tapty, ol - logarıfmder kestesi edi, bul bolsa, matematıkterdiń eńbek ónimdiligin tym kóterip jiberdi. Tipti 1623 jyldyń ózinde-aq, ıaǵnı alǵashqy kesteni basyp shyǵarǵannan keıin ne bary 9 jyl ótkende aǵylshyn matematıgi D.Ganter alǵash ret logarıfmdik syzǵyshty oılap shyǵardy, bul keıingi kóptegen urpaqtyń jumys quraly bolyp ketti.

Logarıfm degen sóz grektiń   λ ο γ ο φ (san) jáne α ρ ι υ μ ο φ (qatynas) degen sózderinen týyndaıdy da, sandardyń qatynasy dep aýdarylady.    Logarıfmderdiń alǵashqy kestelerin birine-biri baılanyssyz  shotlandıa matematıgi D.Neper (1150-1617) jáne shveısarlyq I.Búrgı  (1552-1635) qurǵan bolatyn. Neper kesteleri onyń «Opısanıe ýdıvıtelnoı tablısy logarıfmov» (1614j.) jáne «Ýstroıstvo ýdıvıtelnoı tablısy logarıfmov» (1619j.) dep atalatyn basylyp shyqqan eńbekterine endi, onda 0-den 90⁰ –qa deıingi 1 mınýt adymmen alynǵan buryshtardyń sınýstary, kosınýstar men tangensteri logarıfmderiniń mánderi keltirilgen. Búrgı óziniń sandar logarıfmderiniń kestelerin, shamasy, 1610 jylǵa taman daıyndaǵan bolsa kerek, biraq ta olar 1620 jyly jaryq kórdi.Neper kesteleri basylyp shyqqandaqtan, bul eskerýsiz qala berdi.

Logarıfmderdi oılap shyǵarý negizine alynatyn mańyzdy ıdeıalardyń biri ol tusta belgili bolatyn. Shtıfel (1487-1567) jáne kóptegen basqa da matematıkterdiń nazaryna geometrıalyq progresıanyń múshelerin

         ...a^-3, a^-2, a^-1,1, a, a², a³, ...

Kóbeıtý men bólý arıfmetıkalyq progresıa quraıtyn

       ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Kórsetkishterdi qosý men azaıtýǵa sáıkes keletinine nazar aýdardy.

Alaıda bul ıdeıanyń ózi jetkilikti emes edi. Mysaly, 2 sanynyń bútin dárejeleriniń «tory» óte sırek; kóptegen sandar «logarıfmdersiz qaldy», sondyqtan taǵy da bir mynadaı ıdeıa qajet boldy: bir sanyna óte jýyq sandardy dárejege shyǵarý. Myna (10+1/10ⁿ)ⁿ  jáne (1+1/10ⁿ)ⁿ⁺¹ dárejelerdiń n-niń úlken mánderinde bir-birine jaqyn ekenin ańǵaryp, Neper jáne Búrgı uqsas sheshim qabyldaıdy: Neper negiz retinde  (1-1/10⁷)  sanyn, al Búrgı  (1+1/10⁴)  sanyn qabyldaıdy.

Olardyń budan arǵy paıymdaý joldary men esepteý shemalaryn baıandap  berý qıynǵa soǵady: olar onsha ońaı emes kóptegen paıymdaýlarmen baılanysty keledi jáne XVI ǵasyrdyń teksteri tym bulyńǵyr jazylǵan. negizge, Búrgı bolsa,

negizge aýysqanyn eskertemiz.

Budan istiń mánisi ózgere qoıǵan joq (ózimizdiń biletindeı,  jáne sondyqtan da joǵaryda kórsetilgen aýystyrýlardyń nátıjesi logarıfmde útirdiń ornyn kóshirýmen ǵan baılanysty), biraq esepteýler de, kesteler de birshama yqshamdala tústi.

Sonymen, logarıfmderdi oılap tapqandar  (1-1/M)^M, M – óte úlken san, túrindegi dárejelerdi qarastyrý tıimdi degen qorytyndyǵa keledi. Bul tektes sandardy qarastyrǵanda, ózimizge belgili e sanyna kelemiz, ol bylaı anyqtalady:(tizbek sheginiń anyqtamasy III taraýǵa engen tarıhı maǵlumatarda berilgen ). Logarıfmniń negizi retinde e sanyn qabyldaý ıdeıasyna deıin az ǵana ýaqyt qaldy. (Búrgı logarıfmderi kestesiniń negizi úshinshi tańbaǵa deıingi dáldikpen alynǵan e sany da, Neper logarıfmderi kesteleriniń negizi 1/e sanyna jýyq).

Ondyq logarıfmderdiń alǵashqy kestelerin (1617j.) Neperdiń aıtqan keńesimen aǵylshyn matematıgi G.Brıggs (1561-1630) qurdy. Olardyń kópshiligi Brıggs shyǵarǵan jýyq formýlanyń

kómegimen tabylǵan bolatyn (m men n-niń úlken mánderinde ol formýla jetkilikti dál sanalady). m men n mánderin Brıggs eki sanynyń dárejeleri túrinde alǵan: óıtkeni   men  esepteýlerin kvadrat túbirlerdi birtindep tabý múmkin bolady.

Brıggstiń ekinshi bir ıdeıasyn paıdalanyp, keıbir sandardyń ondyq logarıfmderiniń mánderin kestelerdi paıdalanbaı-aq ózimizdiń tabýymyzǵa da bolady. Bútin san logarıfmniń bútin bóligisan jazylǵan sıfrlar sanynan biri kem. Sondyqtan, mysaly, úsh tańbaǵa deıingi dáldikpen lg2—tabý úshin  sıfrlarynyń sanyn tabý jetkilikti. Bul onsha kıyn emes.

Logarıfmder kestesin qurǵanda ý=log_ax fýnksıasy úshin qalaýymyzsha alynǵan h₀ núktesindegi  pen   ósimsheleriniń Neper men Búrgı tapqan araqatysy mańyzdy rol atqarady. Olardyń ózderi keltirgen baıandaý jolyn táptishtep aıtpaı-aq negizgi nátıjeni bylaı órnekteýge bolady: , k- qandaı da bir turaqty. Eger logarıfmder negizi – dáreje , mundaǵy n – jetkilikti san bolsa, onda    bolady.

 – ósimshege nólge umtylsa, dıfferensıaldyq teńdeý shyǵady , munyń sheshimi, ózimiz biletindeı, ln_x+C fýnksıasy bolmaq. Basqasha baıandaý júıesinde  lnx₀ eń basynan-aq   túrinde anyqtalady, ıaǵnı lnx₀ gıperbolamen, absıssalar osimen jáne h=1 jáne h=h₀ túzilermen shektelgen qısyq syzyqty trapesıanyń aýdany.

Logarıfmderdi Dj.Neper oılap shyǵarǵan dep aıtylyp júrgen sebebi sol, logarıfmder eki sandy salystyrýdan baryp shyǵady, olardyń biri arıfmetıkalyq progresıanyń, al ekinshisi – geometrıalyq progresıanyń múshesi. Negizi e bolatyn logarıfmderdi engizgen Speıder, ol  ln x fýnksıasyna arnalǵan kesteni alǵash qurastyrǵan. Kóp keıin paıda bolǵan natýral ataýy sol logarıfmniń tabıǵılyǵymen túsindiriledi. N.Merkator osy ataýdy usynǵan,  ln x degen   gıperbola alyp turǵan aýdan ekenin ańǵarǵan. Ol sondaı-aq gıperbolalyq degen ataýdy da usynǵan.

Logarıfmniń negizgi qasıetteri:

2³=8 teńdiginde 3 dáreje kórsetkish, al 8 shyǵý úshin negizi ekini úsh dárejege shyǵarý kerektigin bildiredi. Mysaly:

Anyqtama: N sanynyń a negizi boıynsha logarıfmi dep N sany tabylatyndaı a sanynyń dáreje kórsetkishin aıtady. Negizi a bolǵandaǵy a sanynyń logarıfmi log_a N sımvolymen belgilenedi.

Negizi   10 bolǵanda log₁₀ N=lg N - ondyq logarıfm dep atalady.

              e bolǵanda log_e M= lg M - natýral logarıfm dep atalady.

Mysaly,  órnegin negizi 5 dep alyp logarıfmdeımiz. Logarıfmniń qasıetterine súıensek, 

Logarıfmniń qasıetterine súıenip logarıfmdi órnekterdi túrlendiremiz jáne logarıfmdyq teńdeýleri men teńsizdikterdi sheshe alamyz.

Shymkent agrarlyq kolejiniń
 M9-161 tobynyń stýdenti: Sarsenbaev Pazylbek
Jetekshisi: Nýrseıtova Aınýr Pernehanqyzy
Matematıka pániniń oqytýshysy

---