Standartty emes planımetrıa esepterin shyǵarý tásilderi
Esep shyǵarý – erekshe oı jumysy. Kez kelgen sharttardan jáne talaptardan turatyny belgili. Esep shyǵarý degenimiz – matematıkanyń jalpy zańdylyqtaryn (anyqtamalar, aksıomalar, teoremalar, zańdar, formýlalar) esep shartyna nemese onyń saldaryna belgili bir retpen qoldana otyryp, esep talabyna jaýap berý bolyp tabylady. Sonymen esep shyǵarý, onyń shartyna belgili bir matematıkalyq erejelerdi sáıkes túrde qoldana otyryp, talabyna qaraı jyljıtyn oı qozǵalysy.
Teorıaǵa baılanysty standartty jáne standartty emes esep túrleri belgili. Daıyn erejelerdiń kómegimen shyǵarylatyn esepter standartty delinedi de, al shyǵarý joldary daıyn erejeler arqyly tabyla qoımaıtyn esep – standarttyq emes bolyp tabylady.
Qandaı da bolmasyn esepti shyǵarýdy negizgi tórt kezeńge bólýge bolady:
1. Eseptiń sharty men talabyn tereń túsiný. Esepti durys túsinip almaı, ony ári qaraı jalǵastyrý múmkin emes. Esep shyǵarýǵa kirispes buryn onyń mazmunyna taldaý jasap, ne berilgenin, neni tabý kerek ekendigin anyqtap alǵan qajet. Bul tusta uqypty syzylǵan syzbalardyń nemese súlbelerdiń mańyzy zor. Eseptiń berilgen ne izdelindi elementteri belgilenbegen bolsa, onda yńǵaıly belgileýler engizý kerek.
2. Esepti shyǵarýdyń josparyn qurý. Bul – sheshýshi kezeń. Shyǵarý jospary durys qurylǵanda ǵana esep qatesiz shyǵarylady. Jospar qurý úshin esep shyǵarýdyń negizgi «kiltin» usynatyn ıdeıalarǵa baılanysty suraqtar men aqyl-keńester júıeli túrde qurylǵany oryndy:
- osy sıaqty buryn kezdesken esepterdi qarastyrý. Eki eseptiń berilgen jaǵdaıyn salystyrý;
- shyǵarylatyn esepke uqsastaý eseptiń josparyn basshylyqqa alý;
- esepke jaqyndaıtyn burynnan belgili esep tabylmaǵan jaǵdaıda esep shartyndaǵy uǵymdardyń anyqtamasyn paıdalaný, qasıetterin eske alý; esep sharty men talabyn matematıkalyq tilge kóshirý,
- esep josparyn qurý kezinde berilgenderiniń barlyǵyn qoldaný,
- esep sharty nemese talabyn túrlendirý,
Jospar boıynsha
3. Jospardy júzege asyrý;
4. Esepti tıanaqtaý. Jospar júzege asyrylǵan soń, onymen tynyp qalmaı esep shyǵarý porsesin taǵy da oı eleginen ótkizý kerek. Mindetti túrde nátıje men shyǵarý joly tekseriledi. Onymen qosa «Esepti shyǵarýdyń basqasha joly bar ma?», «nátıjeni basqasha qalaı alýǵa bolady?» t.b. suraqtarǵa jaýap izdep, tıanaqtaǵan durys.
Mektep planımetrıa kýrsyna sáıkes standartty emes esepterdi shyǵarýdyń joldaryn qarastyraıyq.
1 esep. AV hordasy sheńberdiń 120º doǵasyn keredi. S núktesi osy doǵanyń boıynda, al D núktesi AV hordasynda jatady. Mundaǵy AVS úshburyshynyń aýdanyn tap.
Sheshýi. O núktesi – sheńberdiń sentri, R radıýsy bolsyn. (1 sýret).
Onda
bolsa, onda , osydan Sondyqtan
Osydan ODS yshy tik buryshty ekendigi shyǵady. jáne
Onda
SM - ASV úshburyshynyń bıiktigi bolsyn. Sonda osydan
Jaýaby:
2 esep. Sentrleri bir túzýdiń boıynda jatpaıtyn, ózara qos-qostan qıylysatyn jazyqtyqta jatqan úsh sheńber berilgen. Osy sheńberlerdiń árbir jubynyń ortaq úsh hordasy bir núktede qıylysatynyn dálelde.
Dáleldeýi.
sheńberleri V núktesinde, sheńberleri C jáne D núktelerinde, al sheńberleri E jáne F núktelerinde qıylysatyn bolsyn. (2 sýret). Eger M núktesi kesindileriniń qıylysý núktesi bolsa, onda hordalardyń qıylysý kesindisi týraly teorema boıynsha A jáne M núkteleri arqyly
sheńberin ekinshi ret V1 núktesinde qıatyn túzý júrgizemiz. Onda sheńberiniń AV1 jáne EF hordalary M núktesinde qıylysady, sondyqtan Demek, A, V, S jáne D núkteleri bir sheńberdiń boıynda jatady. A, S jáne D núkteleri arqyly bir ǵana sheńberi ótetindikten, V1 núktesi A núktesinen ózge sheńberleriniń ortaq núktesi bolady. Demek V1 núktesi V núktesimen bettesedi.Osydan AV hordasy ordalarynyń qıylysý núktesi M arqyly ótedi.
Dáleldeý keregi osy bolatyn.
3 esep. besburyshy sheńberge ishteı syzylǵan. A núktesinen VS, DC jáne DE túzýlerine deıingi qashyqtyq sáıkesinshe a, b, c –ǵa teń. A núktesinen VE túzýine deıingi qashyqtyqty tap.
Sheshýi:
A núktesinen BC, DC, DE jáne BE túzýlerine túsirilgen perpendıkýlárlardyń tabany sáıkesinshe bolsyn. úshburyshy úshburyshyna uqsas ekendigin dáleldeıik. (3 sýret).Shyndyǵynda
núkteleri dıametri AV bolatyn sheńber boıynda jatady, al núkteleri dıametri AD bolatyn sheńber boıynda jatady.
Sondyqtan Dáleldeýimizden ekendigi shyǵady. Budan bolatynyn tabamyz.
Jaýaby:
4 esep. Sheńber boıyndaǵy núkteden osy sheńberge ishteı syzylǵan durys úshburyshtyń tóbelerine deıingi qashyqtyq núkteniń sheńber boıynda ornalasý jaǵdaıyna baılanysty bolmaıtyn turaqty shama ekendigin dálelde.
Sheshýi: M núktesi –AVS durys úshburyshy ishteı syzylǵan sheńberdiń S núktesi jatpaıtyn AV doǵasynyń boıynan erkin alynǵan núkte bolsyn (4 sýret).
dep belgileıik.
Bizge belgili teńdigin paıdalanaıyq. bolatyndyqtan, kosınýstar teoremasy boıynsha úshburyshynan tabatynymyz: nemese
ekendigin paıdalansaq, onda
Kosınýstar teoremasy boıynsha úshburyshynan tabatynymyz: osy teńdeýdegi ornyna qoıyp, myna teńdikti alamyz: Sonymen sheńber boıynan erkin alynǵan núkteden osy sheńberge ishteı syzylǵan durys úshburysh tóbelerine deıingi qashyqtyq – turaqty shama.
5 esep. AVS úshburyshyna ishteı syzylǵan sheńber VM medıanasyn teń úsh bólikke bóledi. qatynasyn tap. İshteı syzylǵan sheńberdiń úshburyshtyń AS, VS jáne AV qabyrǵalarymen janasý núkteleri sáıkesinshe K, L, N bolsyn. Úshburyshtyń VM medıanasy men sheńberdiń qıylysý núktelerin F, Q dep belgileıik. (Ǵ núktesi B jáne Q núkteleriniń ortasynda jatady). (6 sýret).
K núktesi M jáne S núkteleriniń ortasynda jatyr dep uıǵaraıyq. Sonda
Sondyqtan
Osyndaı tásilmen sondaı-aq bolsa, onda
VM medıanasyn AVS úshburyshynyń qabyrǵalary arqyly órnekteıik.
nemese
Osy teńdeýdi sheshý arqyly tabatynymyz:
Sonda
osydan alatynymyz:
6 esep. D núktesi AVS úshburyshynyń AS qabyrǵasynda jatyr. AVD úshburyshyna ishteı syzylǵan radıýs -ke teń sheńber AV qabyrǵasyn M núktesinde, al VSD úshburyshyna ishteı syzylǵan radıýs - ke teń sheńber VS qabyrǵasyn N núktesinde janap ótedi. ekeni belgili bolsa, onda AVS úshburyshynyń qabyrǵalaryn tap.
Sheshýi:
Sheńberlerdiń sentrlerin O1 jáne O2 dep, al olardyń AS qabyrǵasymen janasý núktelerin al P jáne Q, BD qabyrǵasymen janasý núktelerin E jáne F dep belgileıik. dep alaıyq. (6 sýretti qarańyz).
Sonda
Osydan bolǵandyqtan Sondyqtan Osy teńdeýlerdi múshelep kóbeıtemiz. Jalpy . Osydan dep alamyz. (ekinshi túbir sáıkes kelmeıdi). Sondyqtan, dep belgilep alaıyq. BDC úshburyshynan kosınýster teoremasy boıynsha tabatynymyz: Osydan bolatyndyǵyn dál osylaı tabamyz. Budan shyǵatyny:
7 esep. AVS úshburyshynyń VS qabyrǵasy 4 ke, AV qabyrǵasy teń. Úshburyshtyń qabyrǵalarynyń ortasy arqyly ótetin sheńberdiń sentri S buryshynyń bısektrısasynda jatatyny belgili. AS qabyrǵasyn tap.
Sheshýi: Úshburyshtyń VS, AS jáne AV qabyrǵalarynyń ortalary sáıkesinshe A1, V1 jáne S1 bolsyn. O – sheńberdiń sentri, . bolatyn bolsa, onda Osydan berilgen sheńberdiń radıýsi men A1V1S úshburyshyna syrttaı syzylǵan sheńberlerdiń radıýstary teń bolady. OS túzýi ekinshi sheńberdi M núktesinde qıyp ótetin bolsyn deıik. Onda (m núktesi ASV bısektrısasynda jatady). Sondyqtan, O jáne M núkteleri bettespeıtin bolsa, onda al SO – ASV buryshynyń bısektrısasy bolatyndyqtan, SA=CB jáne AC=BC=4. Bul jaǵdaıda Al bulaı bolýy múmkin emes. Demek, O jáne M núkteleri bettespeıdi degen uıǵarym durys emes. Olaı bolsa, ekinshi sheńberdiń sentri birinshisinde jatady. Onda ıaǵnı jáne dep belgileıik. Sonda kosınýster teoremasy boıynsha Osy teńdeýdi sheship, ekendigin alamyz. Jaýaby: 10.
8 esep. Úshburyshtyń bıiktikteriniń tabandaryn qosatyn kesindiler 8, 15 jáne 17 ge teń. Úshburyshty syrttaı syzylǵan sheńberdiń radıýsyn tap.
Sheshýi:
Birinshi tásil. AVS úshburyshynyń bıiktikteri AD, DE jáne CF bolsyn.
bolǵandyqtan, DEF úshburyshy tikburyshty, (8 sýret). AVS úshburyshynyń S buryshyn dep belgileıik. Sonda CDE úshburyshy eki buryshy boıynsha CAB úshburyshyna uqsas bolady, uqsastyq koefısıenti
CDE men CAB úshburyshtaryn syrttaı syzylǵan sheńberlerdiń radıýstary bolsyn. Sonda
Osydan shyǵatyny:
Jaýaby: 17.
Ekinshi tásil. AVS úshburyshynyń VS, AS jáne AV bıiktikteriniń qıylysý núktesi N jáne osy bıiktikter sozyndylarynyń úshburyshty syrttaı syzylǵan sheńbermen qıylysý núkteleri sáıkesinshe N1, N2, N3 bolsyn. N núktesimen N1, N2 jáne N3 núkteleriniń beıneleri VS, AS jáne AV túzýlerine qaraǵanda sımmetrıaly bolady (8 sýret). İzdelindi radıýs N1N2N3 úshburyshyn syrttaı syzylǵan sheńberdiń radıýsyna teń bolady. Bul úshburysh uqsastyq koefısıenti 2 bolatyn FDE úshburyshymen uqsas bolady.Demek, N1N2N3 úshburyshy tik buryshty, onyń gıpotenýzasy N2N3 34-ke teń, osydan syrttaı syzylǵan sheńberdiń radıýsi 17-ge teń bolady.
Jaýaby: 17.
9 esep. AVS úshburyshyna árqaısysy úshburyshtyń eki qabyrǵasymen janasatyn ózara teń úsh sheńber ishteı ornalasqan. Ush sheńberdiń ortaq bir núktesi bar. Eger osy úshburyshty syrttaı jáne ishteı syzylǵan sheńberlerdiń radıýstary R jáne r bolsa, onda osy úsh sheńberdiń radıýsyn tap.
Sheshýi: sáıkesinshe A, V jáne S buryshtaryna ishteı syzylǵan sheńberlerdiń sentrleri, M – olardyń qıylysý núktesi, h - izdelindi radıýs bolsyn. sheńberleriniń radıýsi h bolǵandyqtan
Ekinshi jaǵynan
Sondyqtan Osydan
Jaýaby:
10 esep. Dóńes tórtburyshtyń aýdany osy tórtburyshtyń qabyrǵalarynyń ortalary tóbeleri bolatyn tórtburyshtyń aýdanynan eki ese úlken bolatynyn dálelde.
Sheshýi:
Berilgen ABCD tórtburyshynyń qabyrǵalarynyń ortalary E, F, K, L bolsyn. (10 sýret). ABC úshburyshynyń EF orta syzyǵy odan BEF úshburyshyn qıyp túsedi, onyń aýdany ABC úshburyshynyń aýdanynyń . Osy sıaqty Bul teńdikterdi múshelep qosyp, mynany alamyz: . Dál osylaısha bolatynyn dáleldeımiz. Sonymen ABCD tórtburyshynan EFKL parallelogramynyń qabyrǵalarymen qıylyp alynǵan úshburyshtardyń aýdandarynyń qosyndysy - ǵa teń. Olaı bolsa .
11 esep. Aýdany S bolatyn súıir buryshty úshburyshtyń árbir qabyrǵasynyń ortasynan onyń ózge eki qabyrǵasyna perpendıkýlárlar júrgizilgen. Osy perpendıkýlárlarmen shektelgen altyburyshtyń aýdanyn tap.
Sheshýi: A1,V1 jáne S1 núkteleri AVS úshburyshynyń sáıkesinshe VS, AS, jáne AV qabyrǵalarynyń ortasy bolsyn, al N1, N2 jáne N3 núkteleri esep shartynda kórsetilgen perpendıkýlárlardyń qos-qostan qıylysý núktesi bolsyn.
AVS úshburyshy súıir buryshty bolǵandyqtan, bul núkteler úshburyshtyń ishinde jatady. (11 sýret).
A1V1, V1S1, S1A1 orta syzyqtary berilgen úshburyshty teń tórt úshburyshqa bóledi. Osydan A1V1S1 úshburyshynyń aýdany ekeni shyǵady. Sonymen qatar A1N1V1, V1N2S1 jáne S1N3A1 úshburyshtarynan aýdany ke teń A1SV1 úshburyshyn alýǵa bolady.
A1N1V1N2S1N3 altyburyshynyń aýdany qarastyrylǵan tórt úshburysh aýdanynyń qosyndysyna, ıaǵnı -ke teń ekendigi shyǵady.
Qarastyrylǵan standartty emes planımetrıa esepterin matematıka pánin tereńdetip oqıtyn jáne olımpıadaǵa daıyndalatyn oqýshylar basshylyqqa alýǵa bolady.
Teorıaǵa baılanysty standartty jáne standartty emes esep túrleri belgili. Daıyn erejelerdiń kómegimen shyǵarylatyn esepter standartty delinedi de, al shyǵarý joldary daıyn erejeler arqyly tabyla qoımaıtyn esep – standarttyq emes bolyp tabylady.
Qandaı da bolmasyn esepti shyǵarýdy negizgi tórt kezeńge bólýge bolady:
1. Eseptiń sharty men talabyn tereń túsiný. Esepti durys túsinip almaı, ony ári qaraı jalǵastyrý múmkin emes. Esep shyǵarýǵa kirispes buryn onyń mazmunyna taldaý jasap, ne berilgenin, neni tabý kerek ekendigin anyqtap alǵan qajet. Bul tusta uqypty syzylǵan syzbalardyń nemese súlbelerdiń mańyzy zor. Eseptiń berilgen ne izdelindi elementteri belgilenbegen bolsa, onda yńǵaıly belgileýler engizý kerek.
2. Esepti shyǵarýdyń josparyn qurý. Bul – sheshýshi kezeń. Shyǵarý jospary durys qurylǵanda ǵana esep qatesiz shyǵarylady. Jospar qurý úshin esep shyǵarýdyń negizgi «kiltin» usynatyn ıdeıalarǵa baılanysty suraqtar men aqyl-keńester júıeli túrde qurylǵany oryndy:
- osy sıaqty buryn kezdesken esepterdi qarastyrý. Eki eseptiń berilgen jaǵdaıyn salystyrý;
- shyǵarylatyn esepke uqsastaý eseptiń josparyn basshylyqqa alý;
- esepke jaqyndaıtyn burynnan belgili esep tabylmaǵan jaǵdaıda esep shartyndaǵy uǵymdardyń anyqtamasyn paıdalaný, qasıetterin eske alý; esep sharty men talabyn matematıkalyq tilge kóshirý,
- esep josparyn qurý kezinde berilgenderiniń barlyǵyn qoldaný,
- esep sharty nemese talabyn túrlendirý,
Jospar boıynsha
3. Jospardy júzege asyrý;
4. Esepti tıanaqtaý. Jospar júzege asyrylǵan soń, onymen tynyp qalmaı esep shyǵarý porsesin taǵy da oı eleginen ótkizý kerek. Mindetti túrde nátıje men shyǵarý joly tekseriledi. Onymen qosa «Esepti shyǵarýdyń basqasha joly bar ma?», «nátıjeni basqasha qalaı alýǵa bolady?» t.b. suraqtarǵa jaýap izdep, tıanaqtaǵan durys.
Mektep planımetrıa kýrsyna sáıkes standartty emes esepterdi shyǵarýdyń joldaryn qarastyraıyq.
1 esep. AV hordasy sheńberdiń 120º doǵasyn keredi. S núktesi osy doǵanyń boıynda, al D núktesi AV hordasynda jatady. Mundaǵy AVS úshburyshynyń aýdanyn tap.
Sheshýi. O núktesi – sheńberdiń sentri, R radıýsy bolsyn. (1 sýret).
Onda
bolsa, onda , osydan Sondyqtan
Osydan ODS yshy tik buryshty ekendigi shyǵady. jáne
Onda
SM - ASV úshburyshynyń bıiktigi bolsyn. Sonda osydan
Jaýaby:
2 esep. Sentrleri bir túzýdiń boıynda jatpaıtyn, ózara qos-qostan qıylysatyn jazyqtyqta jatqan úsh sheńber berilgen. Osy sheńberlerdiń árbir jubynyń ortaq úsh hordasy bir núktede qıylysatynyn dálelde.
Dáleldeýi.
sheńberleri V núktesinde, sheńberleri C jáne D núktelerinde, al sheńberleri E jáne F núktelerinde qıylysatyn bolsyn. (2 sýret). Eger M núktesi kesindileriniń qıylysý núktesi bolsa, onda hordalardyń qıylysý kesindisi týraly teorema boıynsha A jáne M núkteleri arqyly
sheńberin ekinshi ret V1 núktesinde qıatyn túzý júrgizemiz. Onda sheńberiniń AV1 jáne EF hordalary M núktesinde qıylysady, sondyqtan Demek, A, V, S jáne D núkteleri bir sheńberdiń boıynda jatady. A, S jáne D núkteleri arqyly bir ǵana sheńberi ótetindikten, V1 núktesi A núktesinen ózge sheńberleriniń ortaq núktesi bolady. Demek V1 núktesi V núktesimen bettesedi.Osydan AV hordasy ordalarynyń qıylysý núktesi M arqyly ótedi.
Dáleldeý keregi osy bolatyn.
3 esep. besburyshy sheńberge ishteı syzylǵan. A núktesinen VS, DC jáne DE túzýlerine deıingi qashyqtyq sáıkesinshe a, b, c –ǵa teń. A núktesinen VE túzýine deıingi qashyqtyqty tap.
Sheshýi:
A núktesinen BC, DC, DE jáne BE túzýlerine túsirilgen perpendıkýlárlardyń tabany sáıkesinshe bolsyn. úshburyshy úshburyshyna uqsas ekendigin dáleldeıik. (3 sýret).Shyndyǵynda
núkteleri dıametri AV bolatyn sheńber boıynda jatady, al núkteleri dıametri AD bolatyn sheńber boıynda jatady.
Sondyqtan Dáleldeýimizden ekendigi shyǵady. Budan bolatynyn tabamyz.
Jaýaby:
4 esep. Sheńber boıyndaǵy núkteden osy sheńberge ishteı syzylǵan durys úshburyshtyń tóbelerine deıingi qashyqtyq núkteniń sheńber boıynda ornalasý jaǵdaıyna baılanysty bolmaıtyn turaqty shama ekendigin dálelde.
Sheshýi: M núktesi –AVS durys úshburyshy ishteı syzylǵan sheńberdiń S núktesi jatpaıtyn AV doǵasynyń boıynan erkin alynǵan núkte bolsyn (4 sýret).
dep belgileıik.
Bizge belgili teńdigin paıdalanaıyq. bolatyndyqtan, kosınýstar teoremasy boıynsha úshburyshynan tabatynymyz: nemese
ekendigin paıdalansaq, onda
Kosınýstar teoremasy boıynsha úshburyshynan tabatynymyz: osy teńdeýdegi ornyna qoıyp, myna teńdikti alamyz: Sonymen sheńber boıynan erkin alynǵan núkteden osy sheńberge ishteı syzylǵan durys úshburysh tóbelerine deıingi qashyqtyq – turaqty shama.
5 esep. AVS úshburyshyna ishteı syzylǵan sheńber VM medıanasyn teń úsh bólikke bóledi. qatynasyn tap. İshteı syzylǵan sheńberdiń úshburyshtyń AS, VS jáne AV qabyrǵalarymen janasý núkteleri sáıkesinshe K, L, N bolsyn. Úshburyshtyń VM medıanasy men sheńberdiń qıylysý núktelerin F, Q dep belgileıik. (Ǵ núktesi B jáne Q núkteleriniń ortasynda jatady). (6 sýret).
K núktesi M jáne S núkteleriniń ortasynda jatyr dep uıǵaraıyq. Sonda
Sondyqtan
Osyndaı tásilmen sondaı-aq bolsa, onda
VM medıanasyn AVS úshburyshynyń qabyrǵalary arqyly órnekteıik.
nemese
Osy teńdeýdi sheshý arqyly tabatynymyz:
Sonda
osydan alatynymyz:
6 esep. D núktesi AVS úshburyshynyń AS qabyrǵasynda jatyr. AVD úshburyshyna ishteı syzylǵan radıýs -ke teń sheńber AV qabyrǵasyn M núktesinde, al VSD úshburyshyna ishteı syzylǵan radıýs - ke teń sheńber VS qabyrǵasyn N núktesinde janap ótedi. ekeni belgili bolsa, onda AVS úshburyshynyń qabyrǵalaryn tap.
Sheshýi:
Sheńberlerdiń sentrlerin O1 jáne O2 dep, al olardyń AS qabyrǵasymen janasý núktelerin al P jáne Q, BD qabyrǵasymen janasý núktelerin E jáne F dep belgileıik. dep alaıyq. (6 sýretti qarańyz).
Sonda
Osydan bolǵandyqtan Sondyqtan Osy teńdeýlerdi múshelep kóbeıtemiz. Jalpy . Osydan dep alamyz. (ekinshi túbir sáıkes kelmeıdi). Sondyqtan, dep belgilep alaıyq. BDC úshburyshynan kosınýster teoremasy boıynsha tabatynymyz: Osydan bolatyndyǵyn dál osylaı tabamyz. Budan shyǵatyny:
7 esep. AVS úshburyshynyń VS qabyrǵasy 4 ke, AV qabyrǵasy teń. Úshburyshtyń qabyrǵalarynyń ortasy arqyly ótetin sheńberdiń sentri S buryshynyń bısektrısasynda jatatyny belgili. AS qabyrǵasyn tap.
Sheshýi: Úshburyshtyń VS, AS jáne AV qabyrǵalarynyń ortalary sáıkesinshe A1, V1 jáne S1 bolsyn. O – sheńberdiń sentri, . bolatyn bolsa, onda Osydan berilgen sheńberdiń radıýsi men A1V1S úshburyshyna syrttaı syzylǵan sheńberlerdiń radıýstary teń bolady. OS túzýi ekinshi sheńberdi M núktesinde qıyp ótetin bolsyn deıik. Onda (m núktesi ASV bısektrısasynda jatady). Sondyqtan, O jáne M núkteleri bettespeıtin bolsa, onda al SO – ASV buryshynyń bısektrısasy bolatyndyqtan, SA=CB jáne AC=BC=4. Bul jaǵdaıda Al bulaı bolýy múmkin emes. Demek, O jáne M núkteleri bettespeıdi degen uıǵarym durys emes. Olaı bolsa, ekinshi sheńberdiń sentri birinshisinde jatady. Onda ıaǵnı jáne dep belgileıik. Sonda kosınýster teoremasy boıynsha Osy teńdeýdi sheship, ekendigin alamyz. Jaýaby: 10.
8 esep. Úshburyshtyń bıiktikteriniń tabandaryn qosatyn kesindiler 8, 15 jáne 17 ge teń. Úshburyshty syrttaı syzylǵan sheńberdiń radıýsyn tap.
Sheshýi:
Birinshi tásil. AVS úshburyshynyń bıiktikteri AD, DE jáne CF bolsyn.
bolǵandyqtan, DEF úshburyshy tikburyshty, (8 sýret). AVS úshburyshynyń S buryshyn dep belgileıik. Sonda CDE úshburyshy eki buryshy boıynsha CAB úshburyshyna uqsas bolady, uqsastyq koefısıenti
CDE men CAB úshburyshtaryn syrttaı syzylǵan sheńberlerdiń radıýstary bolsyn. Sonda
Osydan shyǵatyny:
Jaýaby: 17.
Ekinshi tásil. AVS úshburyshynyń VS, AS jáne AV bıiktikteriniń qıylysý núktesi N jáne osy bıiktikter sozyndylarynyń úshburyshty syrttaı syzylǵan sheńbermen qıylysý núkteleri sáıkesinshe N1, N2, N3 bolsyn. N núktesimen N1, N2 jáne N3 núkteleriniń beıneleri VS, AS jáne AV túzýlerine qaraǵanda sımmetrıaly bolady (8 sýret). İzdelindi radıýs N1N2N3 úshburyshyn syrttaı syzylǵan sheńberdiń radıýsyna teń bolady. Bul úshburysh uqsastyq koefısıenti 2 bolatyn FDE úshburyshymen uqsas bolady.Demek, N1N2N3 úshburyshy tik buryshty, onyń gıpotenýzasy N2N3 34-ke teń, osydan syrttaı syzylǵan sheńberdiń radıýsi 17-ge teń bolady.
Jaýaby: 17.
9 esep. AVS úshburyshyna árqaısysy úshburyshtyń eki qabyrǵasymen janasatyn ózara teń úsh sheńber ishteı ornalasqan. Ush sheńberdiń ortaq bir núktesi bar. Eger osy úshburyshty syrttaı jáne ishteı syzylǵan sheńberlerdiń radıýstary R jáne r bolsa, onda osy úsh sheńberdiń radıýsyn tap.
Sheshýi: sáıkesinshe A, V jáne S buryshtaryna ishteı syzylǵan sheńberlerdiń sentrleri, M – olardyń qıylysý núktesi, h - izdelindi radıýs bolsyn. sheńberleriniń radıýsi h bolǵandyqtan
Ekinshi jaǵynan
Sondyqtan Osydan
Jaýaby:
10 esep. Dóńes tórtburyshtyń aýdany osy tórtburyshtyń qabyrǵalarynyń ortalary tóbeleri bolatyn tórtburyshtyń aýdanynan eki ese úlken bolatynyn dálelde.
Sheshýi:
Berilgen ABCD tórtburyshynyń qabyrǵalarynyń ortalary E, F, K, L bolsyn. (10 sýret). ABC úshburyshynyń EF orta syzyǵy odan BEF úshburyshyn qıyp túsedi, onyń aýdany ABC úshburyshynyń aýdanynyń . Osy sıaqty Bul teńdikterdi múshelep qosyp, mynany alamyz: . Dál osylaısha bolatynyn dáleldeımiz. Sonymen ABCD tórtburyshynan EFKL parallelogramynyń qabyrǵalarymen qıylyp alynǵan úshburyshtardyń aýdandarynyń qosyndysy - ǵa teń. Olaı bolsa .
11 esep. Aýdany S bolatyn súıir buryshty úshburyshtyń árbir qabyrǵasynyń ortasynan onyń ózge eki qabyrǵasyna perpendıkýlárlar júrgizilgen. Osy perpendıkýlárlarmen shektelgen altyburyshtyń aýdanyn tap.
Sheshýi: A1,V1 jáne S1 núkteleri AVS úshburyshynyń sáıkesinshe VS, AS, jáne AV qabyrǵalarynyń ortasy bolsyn, al N1, N2 jáne N3 núkteleri esep shartynda kórsetilgen perpendıkýlárlardyń qos-qostan qıylysý núktesi bolsyn.
AVS úshburyshy súıir buryshty bolǵandyqtan, bul núkteler úshburyshtyń ishinde jatady. (11 sýret).
A1V1, V1S1, S1A1 orta syzyqtary berilgen úshburyshty teń tórt úshburyshqa bóledi. Osydan A1V1S1 úshburyshynyń aýdany ekeni shyǵady. Sonymen qatar A1N1V1, V1N2S1 jáne S1N3A1 úshburyshtarynan aýdany ke teń A1SV1 úshburyshyn alýǵa bolady.
A1N1V1N2S1N3 altyburyshynyń aýdany qarastyrylǵan tórt úshburysh aýdanynyń qosyndysyna, ıaǵnı -ke teń ekendigi shyǵady.
Qarastyrylǵan standartty emes planımetrıa esepterin matematıka pánin tereńdetip oqıtyn jáne olımpıadaǵa daıyndalatyn oqýshylar basshylyqqa alýǵa bolady.
You Might Also Like
-
"Ulttyq oıyndar – tán men jan saýlyǵy" synyptan tys shara
