InfoHub Logo

1. Týyndysy boıynsha fýnksıany tabý jónindegi esepter.

Biz berilgen týyndysy boıynsha fýnksıanyń ózin tabýmen baılanysty eki eseptiń sheshimin tappaqpyz.

1. Deneniń qozǵalys zańy

S=f(t)

teńdeý arqyly berilgen. Bundaǵy  t-ýaqyt, s-deneniń júrgen joly. Qarastyrylyp otyrǵan qozǵalystyń berilgen mezgildegi lezdik jyldamdyǵy v:

formýlasy boıynsha anyqtalatyny dıfferensıaldyq esepteýden belgili bolatyn.

Al mehanıkada buǵan keri eseppen tym jıi kezdesýge týra keledi. Ondaı esepter myna túrde bolyp keledi; deneniń berilgen  t mezgilindegi týyndysy v=v(t) beriledi de, sol boıynsha deneniń qozǵalý zańyn tabý, ıaǵnı ótken merzim men júrgen jol arasyndaǵy táýeldilikti anyqtaý talap etiledi. Bul eseptiń sheshimi bylaı tabylady:

Berilgen jyldamdyq v=v(t) deneniń qozǵalys zańyn beıneleıtin  f(t)  fýnksıasynyń týyndysy bolatyny bizge belgili, demek izdelip otyrǵan belgisiz fýnksıa  f(t)-tiń týyndysy  f’(t)=v(t) berilgen. Bizden sol  f(t)-ti tabý talap etiledi. Demek, bul esep dıfferensıaldyq esepteýde qarastyrylǵan negizgi esepke keri esep bolyp tabylady. Basqasha aıtqanda: dıfferensıaldyq esepteýde fýnksıa berilip, onyń týyndysyn tabý talap etilse, endi týyndy beriledi de, bastapqy fýnksıany tabý etiledi.   

2.[0, i] kesindisine ornalasqan deneniń sol kesindiniń  h núktesindegi syzyqtyq tyǵyzdyǵy p:

fýnksıasy túrinde beriledi. Endi sol deneniń  [0, i] kesindisiniń  [0, x] bóligindegi tyǵyzdyǵy m-di tabý kerek.  [0,x] bóliginiń massasy -  x- tiń fýnksıasy, ıaǵnı

m=f(x).

Olaı bolsa, massasyn tabý degenimiz osy f(x) fýnksıasyn tabý bolyp tabylady.

x  núktesindegi syzyqtyq tyǵyzdyq p:

formýlasymen anyqtalady. Endeshe,

bolady. Al eseptiń sharty boıynsha -belgili fýnksıa, demek berilgen syzyqtyq tyǵyzdyǵy boıynsha deneniń massasyn tabý degenimiz berilgen týyndy f’(x) boıynsha fýnksıa f(x)- ti  tabý jónindegi másele bolady.

2. Alǵashqy fýnksıa uǵymy.

Ǵylym men tehnıkanyń túrli-túrli salalaryndaǵy kóptegen máselelerdi sheshý týyndysy berilgen fýnksıany tabýǵa ákelip soqtyrady. Sondyqtan matematıkada jańa bir operasıa, ıntegraldaý operasıasy qarastyrylady. İzdelip otyrǵan F(x) fýnksıasynyń berilgen týyndysy f(x) boıynsha sol F(x) fýnksıasyn tabý máselesi tek ıntegraldaý operasıasynyń  járdemimen sheshiledi. Mine osy  F(x)-ti berilgen fýnksıa f(x)-tiń alǵashqy fýnksıasy dep ataıdy.

Anyqtama. Eger bir aralyqtyń árbir núktesinde fýnksıa F(x) úshin

dF(x)=f(x)dx

teńdigi oryndalsa, F(x) fýnksıasy f(x)-tiń sol aralyqtaǵy alǵashqy fýnksıasy dep atalady.

Mysaly:  F(x)=x⁷   búkil sandar osi boıynda  f(x)=7x⁶  fýnksıasynyń alǵashqy fýnksıasy bolady, óıtkeni h-tiń kez kelgen máninde   (x⁷)’=7x^6.

Al fýnksıa   F(x)=lnx  fýnksıa    f(x)=1/x  úshin alǵashqy fýnksıa bolady

óıtkeni

(lnx)’=1/x

1-teorema.  Eger F(x) fýnksıasy belgili bir aralyqta f(x)-tiń alǵashqy fýnksıasy bolsa,  

F(x)+c

Fýnksıasyda (C- kez kelgen turaqty) ol fýnksıa úshin sol aralyqta alǵashqy fýnksıa bolady.

Dáleledeý: F(x) fýnksıasy  f(x) –tiń alǵashqy fýnksıasy. Olaı bolsa,

F’(x)=f(x).

Sonymen birge

[F(x)+C]’=f(x)

Demek F(x)+C fýnksıasy da f(x) úshin alǵashqy fýnksıa bolady.

2 teorema. Berilgen fýnksıanyń alǵashqy fýnksıalarynyń bir-birinen aıyrmasy turaqty shama bolady.

Dáleldeý. Eger berilgen f(x) fýnksıasynyń qandaı da bir alǵashqy fýnksıasynyń  F(x), al, kez kelgen alǵashqy fýnksıasyn   desek, onda myna sharttar oryndalar edi:  

ıaǵnı alynǵan aralyqta F(x) pen  fýnksıalarynyń týyndylary birdeı bolady. Olaı bolsa, aıyrymy turaqty bolýy tıis, ıaǵnı:

Budan 

Dáleldengen eki teoremadan mynadaı qorytyndy shyǵady: eger  F(x) fýnksıasy belgili aralyqta f(x)–tiń alǵashqy fýnksıalarynyń biri bolsa, onyń barlyq alǵashqy fýnksıalarynyń jıyny f(x)+S qosyndysymen órnekteledi. Qosyndynyń geometrıalyq maǵnasy: f(x)-tiń alǵashqy fýnksıasy F(x)-tiń grafıgin joǵary ne tómen jyljytý arqyly kez kelgen alǵashqy fýnksıanyń grafıgin sala alamyz (1 syzba).  

3. Anyqtalmaǵan ıntegral uǵymy

F(x) fýnksıasy dıfferensıaldaý dep berilgen alǵashqy F(x) fýnksıasynyń  F’(x)= f(x) týyndysyn nemese df(x)=f(x)dx Dıfferensıalyn tabý amalyn aıtamyz.

Sol amalǵa keri amal, ıaǵnı F’(x) bolyp tabylatyn berilgen f(x) úshin alǵashqy F(x) fýnksıasyn tabý amaly f(x)-ti ıntegraldaý dep atalady.

f(x)-ti ıntegraldaý amalyn kórsetý úshin sımvoly qoldanylady da, bylaı jazylady:

Osy berilgen f(x) fýnksıasynyń barlyq alǵashqy fýnksıalarynyń jıynyn beıneleıdi jáne f(x)-ten anyqtalmaǵan ıntegral dep atalady.

Demek, anyqtamaǵa sáıkes

bolady. Bul formýladaǵy F(x) fýnksıasy f(x)-tyń belgili bir alǵashqy fýnksıasy, S-kez kelgen turaqty.

Sonymen birge f(x)- ıntegral astyndaǵy fýnksıa, al f(x)dx – ıntegral astyndaǵy órnek dep atalady.

 -sımvoly uzartylyp alynǵan latyn alfavıtindegi S- áripi, ol sımvoldy ıntegraldyń belgisi dep ataıdy.

 Fýnksıany ıntegraldaý jáne olardyń alǵashqy fýnksıalarynyń qaıetteri jaıyndaǵy ilim ıntegraldyq esepteý dep atalady.

Dıfferensıaldyq esepteý sıaqty ıntegraldyq esepteýde matematıkalyq analızdiń óte mańyzdy bólimderiniń biri bolyp tabyldy. 1-paragrafta qarastyrylǵan esepterdiń sheshýin endi ıntegral túrinde bylaı jazýǵa bolady:

4. Anyqtalmaǵan ıntegraldyń negizgi qasıetteri

F’(x)=f(x) jáne ekenin eskere otyryp anyqtalmaǵan ıntegraldyń qasıetterin qarastyramyz.

1.    Dıfferensıaldyń anyqtalmaǵan ıntegraly dıfferensıaldaǵan fýnksıa men kez kelgen turaqtynyń qosyndysyna teń, ıaǵnı 
2.    Anyqtalmaǵan ıntegraldyń dıfferensıalyn ıntegral astyndaǵy órnekke teń, ıaǵnı
3.    Turaqty kóbeıtkishti ıntegraldyq belginiń aldyna shyǵarýǵa da, ıntegraldyq belginiń astyna alyp barýǵa da bolady, ıaǵnı 
4.    Birneshe fýnksıalardyń algebralyq qosyndynyń anyqtalmaǵan ıntegraly qosylǵyshtardan alynǵan anyqtalmaǵan ıntegraldardyń algebralyq qosyndysyna teń, ıaǵnı

5. Anyqtalmaǵan ıntegraldyń negizgi tablısasy

Eger u argýment  h-tiń belgili bir aralyqtaǵy dıfferensıaldanatyn fýnksıasy bolsa, berilgen dıfferensıaldyq esepteýdiń formýlalaryn paıdalanyp, anyqtalmaǵan ıntegraldyń ishindegi negizgileriniń tablısasyn jasaýǵa bolady. Bul tablısaǵa enetin árbir formýlanyń durystyǵyn dıfferensıaldaý arqyly dáleldep kórsetýge bolady.

Osy kórsetilgen forýlardy paıdalanyp fýnksıanyń anyqtalmaǵan ıntegralyn tabýǵa mysaldar qarastyraıyq:

 1. ıntegralyn esepteý kerek.

Sheshýi. (3) formýla boıynsha

 ıntegralyn tabý kerek.

Sheshýi: Integral astyndaǵy órnekti jaqshany ashyp myna túrge keltiremiz:

Qosyndynyń ıntegralyn ıntegraldardyń qosyndysymen aýystyrsaq,

 bolady

Úshinshi ıntegraldaǵy turaqty kóbeıtkishti ıntegral tabysynyń aldyna shyǵarsaq,

 túrge  keledi

(2) jáne (3) formýlalardy qoldansaq

4.       ıntegralyn tabý kerek

Sheshýi: Bólshektiń alymyn bólimine múshelep bólip, aldyńǵy mysaldaǵydaı esepteımiz

Berilgen ıntegraldy ıntengraldardyń qosyndysyna keltirip ıntegraldaý qosyndysyna keltirip ıntegraldaý ádisin jikteý ádisi dep ataıdy. Qarastyrylǵan 3 jáne 4 mysaldar jikteý ádisimen shyǵarylady.

Shymkent agrarlyq koleji
KTK9-141 tobynyń stýdenti Aben Aqnıet
Jetekshisi: Bedebaeva Aıgýl Ersýltanovna

---