InfoHub Logo

Barshamyzǵa matematıkanyń barlyq ǵylymdardyń ishindegi eń basty ǵylym ekeni belgili. Alaıda, kóptegen adam bunymen kelispeýi múmkin, óıtkeni keıde matematıka — tek esepter men mysaldar jáne sol sıaqty adamdy zeriktiretin nárselerdeı kórinedi. Degenmen, matematıka bizge tanys zattardy múldem beıtanys jaǵynan op-ońaı kórsetip bere alady. Onyń ústine — ol tipti álemniń qupıalaryn ashyp bere alady. Qalaısha deısiz be? Fıbonachchı sandaryna júginip kóreıik.    

Fıbonachchı sandary degenimiz ne?  

Fıbonachchı sandary dep kelesisi aldyndaǵy eki sannyń qosyndysynan shyǵatyn sandar tizbegi atalady, mysaly, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Ádette bundaı tizbek F₀ = 0, F₁ = 1, F_n = F_n-1 + F_n-2, n ≥ 2 formýlasy arqyly jazylady.  

Fıbonachchı sandary teris «n» máninen bastalýy múmkin, biraq bundaı jaǵdaıda tizbek ekijaqty bolady — ol eki baǵytta da sheksizdikke qaraı umtylatyn oń jáne teris sandardy qamtıdy. Bundaı sandar tizbeginiń mysaly mynaý bola alady: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, al onyń formýlasy mynandaı bolmaq: F_n = F_n+1 — F_n+2 nemese F_-n = (-1)ⁿ⁺¹F_n.  

Fıbonachchı sandaryn qurýshy Orta ǵasyrlyq Evropanyń alǵashqy matematıkteriniń biri Pızalyq Leonardo edi. Ony kópshilik Fıbonachchı degen atynan tanıdy — bul laqap atty ol qaıtys bolǵan soń kóp jyl ótkende baryp aldy.  

Kózi tirisinde Pızalyq Leonardo matematıkalyq týrnırlerdi qatty jaqsy kórdi, osy sebepti ol óz eńbekterinde («Liber abaci» /«Abak kitaby», 1202; «Practica geometriae»/«Geometrıa praktıkasy», 1220, «Flos»/«Gúl», 1225 jyl — kýbtyq teńdeýler taqyrybyna arnalǵan zertteý jáne «Liber quadratorum»/«Kvadrattar kitaby», 1225 — belgisiz kvadrat teńdeýler jaıyndaǵy esepter) túrli-túrli matematıkalyq esepterdi óte jıi taldap otyrdy.  

Fıbonachchıdiń óziniń ómirlik joly týraly maǵlumat óte mardymsyz. Biraq onyń esepteri kelesi ǵasyrlarda matematıkter arasynda óte tanymal bolǵany anyq. Qazir sol esepterdiń birin qarastyryp kórmekpiz.  

Fıbonachchıdiń qoıandar jónindegi esebi

Esepti oryndaý úshin avtor myna sharttardy qoıdy: erkek jáne urǵashy bolǵan jańa týǵan eki kójek bar, ómiriniń ekinshi aıynda dúnıege jańa eki kójek ákeledi (erkek jáne urǵashy). Solaı kóbıe beredi. Qoıandar shekteýli keńistikte júredi jáne únemi týyp kóbeıip otyrady. Birde bir qoıan ólip qalmaıdy.   

Esep: bir jyl ótkende qoıandar sany qansha bolatynyn anyqtaý.   

Sheshimi:

Bizde bary mynaý:

— Birinshi aıdyń basynda bir qoıandar juby bar, olar aıdyń sońynda shaǵylysady

— Ekinshi aıda eki qoıandar juby bar (birinshi jup jáne birinshi juptyń tuqymy)

— Úshinshi aıda úsh qoıandar juby bar (birinshi jup, birinshi juptyń urpaǵy jáne jańa týǵan urpaǵy)  

— Tórtinshi aıda bes qoıandar juby bar (birinshi jup, birinshi juptyń birinshi jáne ekinshi urpaǵy, birinshi juptyń úshinshi urpaǵy jáne ekinshi juptyń birinshi urpaǵy)  

Bir aıdaǵy qoıandar sany «n» = ótken aıdaǵy qoıandar sany + jańa qoıandar juptarynyń sany, basqasha aıtqanda joǵaryda aıtylǵan formýla: Fn = Fn-1 + Fn-2. Budan rekýrrenttik (rekýrsıa jaıynda tómenirekte aıtamyz) sandar tizbegi shyǵady. Bul jerdegi ár bir jańa san aldyndaǵy eki sannyń qosyndysyna teń.  

1 aıda: 1 + 1 = 2

2 aıda: 2 + 1 = 3

3 aıda: 3 + 2 = 5

4 aıda: 5 + 3 = 8

5 aıda: 8 + 5 = 13

6 aıda: 13 + 8 = 21

7 aıda: 21 + 13 = 34

8 aıda: 34 + 21 = 55

9 aıda: 55 + 34 = 89

10 aıda: 89 + 55 = 144

11 aıda: 144 + 89 = 233

12 aıda: 233 + 144 = 377

Jáne de bul tizbek sheksiz túrde uzaq jalǵasyp kete berýi múmkin, biraq, maqsatymyz bir jyl ótken kezdegi qoıandar sanyn bilý bolǵandyqtan, 377 jup shyǵyp otyr.    

Bul tusta, eger birinen keıin biri keletin eki sandar jubyn salystyryp, úlken sandy kishisine bólsek, shyǵatyn nátıjesi altyn qımaǵa qaraı jyljyp otyratyny Fıbonachchı sandarynyń qasıetteriniń biri bolyp tabylatynyn eskerte ketý de mańyzdy. Altyn qıma týraly da tómende aıtyp ótemiz. 

Oǵan deıin sizderge Fıbonachchı sandary boıynsha  taǵy eki esepti usynamyz:  

— Odan 5-ti alyp tastasa nemese oǵan 5-ti qossa, taǵy da kvadrat san shyǵatyny ǵana belgili kvadrat sandy anyqtaý.  

— 7-ge bólinetin sandy, alaıda esep sharty boıynsha ol sandy 2-ge, 3-ke, 4-ke, 5-ke jáne 6-ǵa bólgende qaldyǵy 1 bolatyn sandy anyqtaý.  

Bundaı esepter aqyl-oıdy damytýdyń keremet tásili ǵana emes, sondaı-aq ýaqytty qyzyqty ótkizýdiń de jaqsy amaly. Bundaı esepterdiń qalaı shyǵarylatynyny jónindegi aqparatty sizder Internetten izdep taýyp alýlaryńyzǵa bolady. Biz bolsaq, oǵan kóńil aýdaryp jatpastan, óz áńgimemizdi jalǵastyraıyq.  

Rekýrsıa jáne altyn qıma degenimiz ne nárse?  

Rekýrsıa

Rekýrsıa qandaı da bir nysannyń nemese úderistiń sol nysannyń nemese úderistiń ózi bar sıpattamasy, anyqtamasy nemese beınesi bolyp tabylady. Basqasha aıtqanda, nysandy nemese úderisti óziniń bir bóligi dep ataýǵa bolady.    

Jalpy maǵynasynda rekýrsıa — elementterin ózine uqsas túrde qaıtalaıtyn prosester.

Rekýrsıa matematıkalyq ǵylymda ǵana emes, sonymen qatar ınformatıkada, buqaralyq mádenıette jáne ónerde barynsha qoldanylady. Fıbonachchı sandaryna qatysty aıtsaq, eger «n>2» bolsa, onda «n» = (n-1)+(n-2) bolady.  

Altyn qıma

Altyn qıma (altyn qatynac) jalpy shamanyń úlken bóligine qatynasatyny sıaqty úlkenniń kishige qatynasy qaǵıdaty boıynsha bútinniń bólshekterge bólinýi bolyp tabylady.

Eń alǵash ret altyn qıma jaıynda durys úshburyshty qurý týraly aıtatyn Evklıdtiń eńbekterinde jazylǵan («Bastama» traktaty, shamamen b.d. deıingi 300 jyl). Alaıda bizge úırenshikti bolyp ketken uǵymdy nemis matematıgi Martın Om engizgen bolatyn.    

Shamalap alǵanda altyn qımany eki árqıly bólikterge proporsıonaldy túrde bólý retinde kózge elestetýge bolady. Mysaly, 38% te 68%. Altyn qımanyń sandyq órnegi shamamen 1,6180339887 teń bolady.   

İs júzinde altyn qıma sáýlet ónerinde, beıneleý ónerinde (Leonardo da Vınchıdiń eńbekterin qarap shyǵyńyz), kınoda jáne basqa salalarda paıdalanylady. Uzaq ýaqyt boıy, tipti qazirgi kezde de, altyn qıma estetıkalyq proporsıa bolyp sanalyp keldi, degenmen adamdardyń kópshiligine ol beıproporsıonaldy — sopaıyp sozylǵan sıaqty bolyp kórinedi.  

Siz, myna proporsıalardy basshylyqqa ala otyryp, ózińiz altyn qımany baǵamdap kóre alasyz:

— a kesindisiniń uzyndyǵy = 0,618

— b kesindisiniń uzyndyǵy = 0,382

— c kesindisiniń uzyndyǵy = 1

— c men a araqatynasy = 1,618

— c men b araqatynasy = 2,618

Endi altyn qımany Fıbonachchı sandaryna qoldanyp kóreıik: onyń tizbegindegi eki kórshiles múshesin alyp, olardyń úlkenin kishisine bólemiz. Shamamen 1,618 shyǵady. Al eger de tizbektegi sol úlken sandy alyp, ózinen keıin turǵan úlken sanǵa bólsek, shamamen 0,618 shyǵady. Ózińiz eseptep kórińiz: 21 jáne 34 sandarymen nemese basqa sandarmen «oınańyz». Eger Fıbonachchı tizbeginiń alǵashqy sandarymen osy tájirıbeni jasap kórseńiz, bundaı nátıje shyqpaıdy, óıtetin sebebi, altyn qıma tizbektiń bas jaǵynda «iske jaramaı qalady». Aıtpaqshy Fıbonachchıdiń barlyq sandaryn anyqtap alý úshin birinen keıin biri turatyn úsh sandy bilý jetkilikti.  

Sóz sońynda taǵy biraz aqylǵa azyq bolar málimet bereıik.  

Altyn tiktórtburysh jáne Fıbonachchıdiń shıyrshyǵy

«Altyn tiktórtburysh» — bul taǵy bir altyn qıma men Fıbonachchı sandarynyń arasyndaǵy ózara baılanys, óıtkeni onyń qabyrǵalarynyń araqatynasy 1-ge 1,618 bolady (1,618 sanyn esińizge túsirińiz!).  

Mynaý sonyń mysaly: Fıbonachchı tizbegindegi eki sandy, mysaly, 8 ben 13 sandaryn, alamyz jáne eni 8 sm, al uzyndyǵy 13 sm bolatyn tiktórtburyshty syzamyz. Sosyn negizgi tiktórtburyshty kishirekterine bólemiz, biraq olardyń uzyndyqtary men enderi Fıbonachchı sandaryna sáıkes kelýi tıis — úlken tiktórtburyshtyń bir qyrynyń uzyndyǵy kishi tiktórtburyshtyń qyrynyń eki uzyndyǵyna teńesýi tıis.    

Osydan keıin bizde bar barlyq tiktórtburyshtardyń buryshtaryn birtindep burylatyn syzyqpen jalǵaımyz da, logorıfmdik shıyrshyqtyń dara jaǵdaıyn — Fıbonachchı shıyrshyǵyn alamyz. Onyń negizgi qasıetteri shekaralarynyń joqtyǵy jáne pishininiń ózgerýi bolyp tabylady. Bundaı shıyrshyqtar tabıǵatta jıi kezdesip turady: eń jarqyn mysaldaryna ulýlardyń qabyrshaǵy, jerserikten túsirilgen sýretterde beınelengen sıklondar jáne tipti birqatar galaktıkalar jatady. Biraq bárinen qyzyǵy — tiri organızmderdiń DNQ da osy erejege baǵynady, onyń poshymy shıyrshyq tárizdi ekenin umytpaǵan bolarsyz?    

Osy jáne basqa «kezdeısoq» sáıkestikter qazirgi kúnderi de ǵalymdardyń oıyn onǵa bólip, 18 myń Ǵalamdaǵynyń bári bir algorıtmge, naqtyraq aıtsaq matematıkalyq algorıtmge baǵynyp tur degen oıǵa qaldyrady. Al bul ǵylym bolsa, ózinde áli ushan-teńiz qupıalar men jumbaqtardy búgip jatyr. 

---