InfoHub Logo

Jamgırbaeva Makbal Asılbekovna
«Taraz-Bolashaq» medısınalyq koleji» JSHS

Logarıfm eń aldymen 16 ǵasyrda astronomıanyń tez damýyna, astronomıalyq baqylaýlardy anyqtaı túsýge jáne astronomıalyq  esepteýler qorytyndylarynyń kúrdelene túsýine baılanysty ashyldy. Alǵashqy logarıfm tablısalarynyń avtory geometrıalyq progresıamen onyń músheleriniń dáreje kórsetkishterinen quralǵan  arıfmetıkalyq progresıanyń qasıetteriniń arasyndaǵy táýeldilikti paıdalanǵan. Bul táýeldilikterdi kezinde Arhımed (b.z.b. 3 ǵ) , fransýz matematıgi N.Shúke (1484j) men nemis matematıgi M.Shtıfel de (1544) jaqsy bilgen. Alǵashqy logarıfmdik tablısalardy bir mezgilde jáne bir-birine táýelsiz D.Neper (1614-1619) jáne Shveısarıa matematıgi I.Búrgı (1620) qurastyrǵan.

Logarıfmdi teorıalyq turǵydan zertteýde mańyzdy qadam jasaǵan Belgıa matematıgi Grıgorıı (1647) boldy. Logarıfm teorıasynyń mańyzy zor bolǵan. Ol logarıfm uǵymyn dárejeleý keri amal retinde bergen. Logarıfm termınin D.Neper usynǵan. Ol grektiń logos (munda qatynas) jáne arithmos (san) degen sózderin qurastyrýdan paıda bolǵan. Ejelgi matematıkada kvadrat, kýb t.b. a\v=k túrindegi qatynastardy “ekilik” ,”úshtik” t.b. qatynastar dep ataıdy. Sonymen Neper úshtik “logu arithmos” degen sózder qatynastastyń sanyn (eseligin) kórsetedi, ıaǵnı D.Nepershe logarıfm –eki sanynyń qatynasyn ólsheýge arnalǵan kómekshi san.

Logarıfmdeý – sannyń, algebralyq órnektiń logarıfmin tabý amaly. N sanynyń negizi a bolǵandaǵy (a>1),(a≠ 1) logarıfmi dep, N sany shyǵý úshin a sany (logarıfm negizi) dárejelenetin n dáreje kórsetkishin aıtady. N sanynyń negizi a bolǵandaǵy logarıfmi bylaı belgilenedi: log^aN. Anyqtama boıynsha log^aN jáne a=N teńdigi mándes. Budan tek oń sandardyń ǵana logarıfmi bolady degen qorytyndy shyǵady, óıtkeni a>0.

Oń sannyń berilgen negizinde bir ǵana naqty logarıfmi bolady teris sandardyń logarıfmderi kompleks sandar bolyp tabylady (M men N –oń sandar).

Logarıfmniń negizgi qasıetteri sandardy kóbeıtý men bólýdi olardyń logarıfmin qosý men azaıtýǵa, al dárejeniń nemese túbirdiń kórsetkishine kóbeıtý men bólýge, ıaǵnı birshama ońaı amaldarǵa keltirýge múmkindik beredi.

Eger logarıfmniń negizi, ıaǵnı a sany 10-ǵa teń bolsa ondaı logarıfmdi ondyq logaıfm dep ataıdy da, lgN túrinde belgileıdi (ondyq sanaý júıesinde alynǵandyqtan, ol jıi qoldanylady), 10, p/q sanynan ózge (mundaǵy p men q bútin sandar) N sanynyń ondyq logarıfmi ırasıonal san, sondyqtan tablısalarda mundaı logarıfmder jýyq túrde shekti ondyq bólshekpen beriledi. Ondyq logarıfmniń bútin bóligi onyń harakterıstıkasy, al bólshek bóligi mantıssasy dep atalady. Mysaly, lg200=2,3010 mundaǵy 2-logarıfmniń harakterıstıkasy, al 0,3010-mantıssasy lg10. N=k+lgN bolǵandyqtan, aıyrmashylyǵy 10 kóbeıtkishinde ǵana bolatyn sandardyń, al harakterıstıkalary ár túrli logarıfm tablısalary osy qasıetke  negizdelip jasalǵan, onda sandardyń tek mantıssalary ǵana beriledi.

Jalpy matematıka men teorıalyq máselelerde negizgi e ≈ 2,71828... transendent sanǵa teń bolatyn logarıfmniń mańyzy zor. Ol natýral logarıfm dep atalady da lnN túrinde belgilenedi. Bir negizdi logarıfmnen ekinshi negizdi logarıfmge aýysýy úshin log N =log N/ log b formýlasy qoldanylady.

Logarıfm túsinigine toqtalǵanda kórsetkishtik fýnksıanyń qasıetterinen týyndaıtyn olardyń mynadaı qasıetteri qoldanylady:

Kez kelgen a>0 (a≠1) jáne kez kelgen oń x pen ý mánderinde myna teńdikter oryndalady:

1. log^a1=0;

2. log^aa=1;

3. log^axy=log^ax+log^ay;

4. log^a=log^ax–log^ay;

5. log^ax^p=plog^ax.

kez kelgen naqty r sany úshin.

Qysqasha: dárejeniń logarıfmi osy dárejeniń kórsetkishi men sol dáreje negizi logarıfminiń kóbeıtindisine teń bolady deıdi.

Logarıfmderdiń negizgi qasıetteri logarıfm enetin órnekterdi túrlendirý barysynda keńinen qoldanylady. Mysaly, logarıfmniń bir negizinen ekinshisine kóshý formýlasyn dáleldep bereıik:

logx = .

Bul formýla tendiktiń eki jaq bóliginiń de maǵynasy bolǵanda, ıaǵnı  x>0, a>0 jáne a≠1, b>0 jáne b ≠1 bolǵanda ǵana týra.

Dárejeni logarıfmdeý erejesi men negizgi logarıfmdik teńdikti paıdalanyp, mynany tabamyz:

logx=log(a)

budan

logx =logx·loga

osy teńdiktiń eki jaǵyn da log^b- ǵa bólip, qajet formýlany shyǵaryp alamyz. Qandaı da bir b negizi úshin, logarıfmder kestesi qolda bar bolsa, kóshý formýlasyn paıdalanyp, negizi kez kelgen a sany bolatyn logarıfmniń mánin taba alamyz. Ondyq jáne natýral logarıfmderdiń kestesi asa kóp qoldanylady.

Mysaly log^0.37–in tabaıyq. Kálkýlátordy (nemese kesteni) paıdalanyp, mynany tabamyz lg7≈0,8451 jáne lg0,3≈0,477;  -1= -0,5229 olaı bolsa, kóshý formýlasy boıynsha log^0.37≈ =-1,6162.

Mysaly log²5=a jáne log²3=b ekeni belgili log²300-in a men b arqyly órnekteıik. Logarıfmderdiń negizgi qasıetterin paıdalanyp, mynany tabamyz:

log²300=log²(3∙5²∙2²)=log²3+2log²5+2log²2=b+2a+2.

Mysaly 8a³ órneginiń 2 negizi boıynsha logarıfmniń a men b sandarynyń negizi 2 bolatyn logarıfmder arqyly órnekteıik (qysqasha bylaı deıdi: berilgen órnekti 2 negizi boıynsha logarıfmdeımiz).

Logarıfmderdiń negizgi qasıetterin paıdalanyp, mynany tabamyz:

log(8a)=log (2∙a∙b)=3 log2+3loga+logb=3+3loga+logb.

Anyqtama. Myna formýlamen berilgen

y=log^ax   (1)

fýnksıany negizi a bolatyn logarıfmdik fýnksıa dep ataıdy.

Logarıfmdik fýnksıanyń negizgi qasıetterin atap óteıik.

1. Logarıfmdik fýnksıanyń anyqtalý oblysy – barlyq oń sandar jıyny R, ıaǵnı D (log^a)=R.

Shynynda da, joǵaryda kórsetilgendeı–aq, árbir oń h sanynyń negizi boıynsha logarıfmi bolady.

2. Logarıfmdik fýnksıanyń mánderiniń oblysy – barlyq naqty sandar jıyny.

Shynynda da, logarıfmniń anyqtamasy boıynsha kez kelgen naqty ý úshin myna teńdik oryndalady:

log^a(a^y)=y 

ıaǵnı y=log^ax fýnksıasy x⁰=a^y0 núktede y⁰ mánin qabyldaıdy.

3. Logarıfmdik fýnksıa búkil anyqtalý oblysynda ósedi ( a>1 bolǵanda), ne kemıdi (0

Mysaly, a>1 bolǵanda fýnksıanyń ósetinin dáleldeıik (al 0

Aıtalyq, h¹ men h² - qalaýymyzsha alynǵan oń sandar jáne h²>h¹ bolsyn. Sonda log^ax²>log^ax¹ bolatynyn dáleldeý kerek keri jorıyq, ıaǵnı bylaı delik:

log^ax²ax¹    (3)

Kórsetkishtik ý=a^x fýnksıasy a>1 bolǵanda ósetin sebepti, (3) teńsizdikten mynaý shyǵady:

a≤a   (4)

Al biraq ta a=x, a=x  (logarıfmniń tapsyrmasy boıynsha), ıaǵnı (4) teńsizdikten h²≤h¹ shyǵady. Al munyń ózi h²>h¹ degen uıǵarymǵa qaıshy.

1-mysal. Myna fýnksıanyń anyqtalý oblysyn tabaıyq:

f(x)=log⁸(4-5x).

Logarıfmdik fýnksıanyń anyqtalý oblysy - R jıyny. Sondyqtan berilgen fýnksıa tek 4-5h>0 sharty oryndalatyndaı h mánderinde ǵana anyqtalǵan, ıaǵnı h<0,8. Olaı bolsa, berilgen fýnksıanyń anyqtalý oblysy (- ; 0,8) ıntervaly.

Eń qarapaıym logarıfmdik fýnksıany qarastyraıyq log^ax=b. Logarıfmdik fýnksıa (0; ) aralyǵynda ósedi (ne kemıdi) jáne osy aralyqta barlyq naqty sandardy qabyldaıdy. Túbir týraly teorema boıynsha, budan kez kelgen b úshin berilgen teńdeýdiń túbiri bar jáne ol tek bireý ǵana bolatyndyǵy shyǵady. Sannyń logarıfminiń anyqtamasynan a^b sany sol sheshim ekendigi birden tabylady.

Teńdeýdi shesheıik log²(x²+4x+3)=2.

Berilgen teńdeýdi h-tiń x+4x+3=2 teńdigi oryndalatyndaı mánderi ǵana qanaǵattandyrady. Sonymen, x+4x-5=0 kvadrat teńdeý shyqty. Onyń túbirleri: 1 men -5 sandary. Olaı bolsa, berilgen teńdeýdiń sheshimi eki san, olar: 1 men -5.

2-mysal. Teńdeýdi shesheıik log⁵(2x+3)=log⁵(x+1). Bul teńdeý h-tiń tek 2x+3>0 jáne x+1>0 teńsizdikter oryndalatyndaı mánderinde ǵana anyqtalady. h-tiń mánderi úshin berilgen teńdeý 2x+3=x+1 teńdeýimen mándes. Budan x=-2 ekenin tabamyz. Al x=-2 sany h+1>0 teńsizdigin qanaǵattandyrmaıdy. Olaı bolsa, berilgen teńdeýdiń túbirleri bolmaıdy.

Aldymen logarıfmdik fýnkıanyń árbir núktede dıfferensıaldanatynyn kórseteıik. y=log^ax pen y=a^x fýnksıalarynyń grafıkteri ý=h túzýine qatysty sımmetrıaly. Kórsetkishtik fýnksıa kez kelgen núktede dıfferensıaldanatyn bolyp, al onyń týyndysy nólge aınalmaıtyn bolǵandyqtan, kórsetkishtik fýnksıa grafıginiń árbir núktedegi janamasy gorızontal bolmaı shyǵady. Sondyqtan logarıfmdik fýnksıa grafıginiń kez kelgen núktedegi janamasy vertıkal bolyp shyǵady. Al osynyń ózi-aq logarıfmdik fýnksıa óziniń anyqtalý oblysynda dıfferensıaldanady degen sóz.

Endi anyqtalý oblysynan alynǵan kez kelgen h úshin logarıfmdik fýnksıanyń týyndysy

lnx=    (5).

Negizi a>1, 0

ÁDEBIETTER TİZİMİ:
1. Qazaq ensıklopedıasy. Tom 7.
2. K.D.Shoıynbekov  Analız bastamalary Oqý quraly Almaty: «Bilim» 2002j.
3. A.N.Kolmogorov Algebra jáne analız bastamalary Almaty: «Mektep». 2001j.

---