InfoHub Logo

Shymkent Agrarlyq koleji
Vf9-172 toby stýdenti: Seıithan Jansaıa
Jetekshisi: matematıka páni muǵalimi
Zarıpova Uljalǵas

Qazaqstan Respýblıkasynyń bilim berý saıasatyndaǵy negizgi prınsıpteriniń biri, ol: jeke adamnyń bilimdiligin yntalandyrý jáne damytý. Bul turǵyda Qazaqstan Respýblıkasynyń bilim týraly zańynda bylaı aıtylǵan: «Bilim salasyndaǵy memlekettik saıasattyń tujyrymdalǵan negizgi prınsıpterine tuńǵysh ret… bilimdilikti yntalandyrý men damytý prınsıpi engizilgen, sol arqyly ıntelektýaldyq eńbektiń bedelin kóterýge bolady».

Búgingi álemde bilim berý isindegi josparlaýdyń mańyzdylyǵyn aıta kelip, Qazaqstan Respýblıkasynyń prezıdenti N.Á.Nazarbaev bylaı deıdi: «Ulttyń básekege qabilettiligi onyń biliminiń kórsetkishimen belgilenedi». Shyndyǵynda qazirgi ýaqytta búkil álemge balalardyń bilimdiligin yntalandyrý men damytý máselesine erekshe kóńil bólinýde.

Kóptegen tabıǵı prosester men qubylystar kvadrat teńdeýler arqyly sıpattalady, mazmundy esepterdiń kóbisiniń sheshýi kvadrat teńdeýlerdi sheshýge kelip tireledi. Kvadrat teńdeýlerdi sheshý matematıkada qarastyrylatyn taqyryptardyń qajetti biri bolyp tabylady.

«Kvadrat teńdeýler» mekteptegi algebra kýrsynyń mańyzdy taqyryptarynyń biri. Kóptegen tabıǵı údirister men qubylystar, s.s. mazmundy esepterdiń shyǵarylýy kvadrat teńdeýlerdi sheshýge kelip tireledi. Teńsizdikterdi sheshý, fýnksıalardy zertteý (fýnksıanyń nólderin, ekstremým núktelerin, ósý jáne kemý aralyqtaryn tabý), eń úlken jáne eń kishi mánderdi tabý esepterin shyǵarý jáne t.b. jaǵdaılarda kvadrat teńdeýlerdi sheshe bilý qajettigi týyndaıdy. Sondaı-aq trıgonometrıalyq, kórsetkishtik jáne logarıfmdik teńdeýlerdi, fızıkada jáne tehnıkada, geometrıa kýrsynyń esepterin almastyrý tásilimen sheshkende kvadrat teńdeýlerge keltiriledi. 

Kvadrat teńdeý degenimiz - esep shyǵarý barysynda jańa h² — 4h + 3=0 teńdeýi qarastyryldy. Bul teńdeýdiń sol jaǵynda belgisiz aınymalyǵa táýeldi ekinshi dárejeli kópmúshe, al oń jaǵynda nól sany berilgen bundaı teńdeý kvadrat teńdeý bolady.

Anyqtama: ah² +vh +s =0 túrinde berilgen teńdeý kvadrat teńdeý dep atalady. Mundaǵy a,v,s – naqty sandar jáne aal h-aınymaly.

Bul teńdeýdegi a-1-shi koefısıent, v-2-shi koefısıent, s- bos múshe. Eger teńdeýdegi v≠0 jáne s≠0 bolsa, onda ol teńdeý tolyq kvadrat teńdeý dep atalady. Mysaly: h²-2h-1 =0, 3h² -8h +5 =0, 2,1h² +10,2h + 0,8=0 tolyq kvadrat teńdeýler.

Al eger v jáne s, nemese v men s nólge teń bolatyn derbes jaǵdaılardaǵy kvadrat teńdeý tolymsyz kvadrat teńdeý dep atalady.

ah²+vh =0, munda c=0

ax² +c=0, munda v=0

ax² =0, munda v=0, c=0

Eger tolyq kvadrat teńdeýdegi 1-shi koefısıent 1-ge teń bolsa, ogda ol keltirilgen kvadrt teńdeý dep atalady. x² +px +q =0 mundaǵy p jáne q – kezkelgen naqty sandar.

Tolymsyz kvadrat teńdeýlerdiń shyǵarylýlaryn  tirek syzbalary arqyly  kórsetý.

ax² +bx =0, a≠0, c=0

x(ax+b)=0  x=0,  ax+b=0  ax= -b x=-a/b  teńdeýdiń 2 túbiri bolady.

ax²+c =0, a≠0, b=0, x² =-c/a bul teńdeýdiń sheshiminiń úsh jaǵdaıy bar.

jaǵdaı a jáne s koefısıentteriniń tańbalary birdeı bolsa, onda bul teńdeýdiń túbiri bolmaıdy.

jaǵdaı. c=0 bolsyn, x²=0  teńdeýiniń bir túbiri bolady.

jaǵdaı. a jáne s sandarynyń tańbalary qarama-qarsy bolsa, onda teńdeýdiń 2 túbiri bolady.  x₁= , x₂=- .

Mysaldar qarastyrý.

4x² – 9=0                            2) 3x²+5= 0

4x²=9                                    3x² = -5

x²=9/4                                   x² = -5/3

x₁=3/2 , x₂=-3/2                    túbiri joq

Kvadrattyq teńdeýlerdi formýla arqyly sheshý.

ah²  + bh + s = 0, a ≠ 0

teńdeýdiń eki jaǵyn da 4a-ǵa kóbeıtemiz de, tómendegi órnekti alamyz:

4a²h² + 4abh + 4as = 0,

((2ah)² + 2ah • b + b²) - b² + 4ac = 0,

(2ax + b)² = b² - 4ac,

2ax + b = ± √ b² - 4ac,

2ax = - b ± √ b² - 4ac,

x_1.2=(- b ± √ b² - 4ac)/2a

Oǵan kelesidegideı mysaldar keltirýge bolady: 4h² + 7h + 3 = 0.

a = 4, b = 7, s = 3, D = b² - 4ac = 7² - 4 • 4  • 3 = 49 - 48 = 1,

D>0 bolǵandyqtan, eki ár túrli túbir  bolady:   

x=(- b ± √ D)/2a,       x=(-7± 1)/8;      x₁=(-7± 1)/8,     x₁=-3/4,  x₂=(-7-1)/8, x₂=-1

Sonymen, dıskrımınant oń bolǵanda, ıaǵnı v²-4as>0, ah²+vh+s=0 teńdeýiniń eki túrli túbiri bolady.

b) 4h² - 4h + 1 = 0, teńdeýin shesheıik.

a = 4, b = - 4, s = 1, D = b² - 4ac = (-4)² - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, bolǵandyqtan, bir ǵana túbir bar bolady

x=-b/2a,   x=-(-4)/2*4,    x=1/2

Sonymen, eger dıskrımınant nólge teń bolsa, b² - 4ac = 0,

ah²  + bh + s = 0 teńdeýiniń jalǵyz túbiri bar bolady

x=-b/2a

v) 2h² + 3h + 4 = 0, teńdeýin shesheıik.

a = 2, b = 3, s = 4, D = b² - 4ac = 3² - 4 • 2  • 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

 D<0 bolǵandyqtan, teńdeýdiń naqty sandar órisinde túbiri bolmaıdy..

D<0 bolǵandyqtan, teńdeýdiń naqty sandar órisinde túbiri bolmaıdy. b² - 4ac < 0 onda   ah²  + bh + s = 0 teńdeýiniń túbiri  bolmaıdy

Vıet teoremasyn paıdalanyp teńdeýlerdi sheshý. Keltirilgen túbirleri  Vıet teoremasyn  qanaǵattandyrady.

Ol bylaı beriledi:                          h² + px + c = 0.                        (1)

a=1 bolǵanda,

x₁ x₂ = q,

x₁ + x₂ = - p

Budan kelesi tujyrymdardy shyǵarýǵa bolady:

a) Eger q (1) teńdeýdiń  bos múshesi oń bolsa (q0) onda teńdeýdiń eki birdeı tańbaly túbiri bolady. Eger r>0, onda eki túbiri de teris bolady, eger r<0, onda  túbirleri oń bolady.

Mysal,x² – 3x + 2 = 0; x₁ = 2  jáne  x₂ = 1, munda  q = 2 > 0 ,  p = - 3 < 0;

x² + 8x + 7 = 0; x₁ = - 7  jáne  x₂ = - 1,  munda q = 7 > 0  ,  p= 8 > 0.

b)  Eger q (1) teńdeýdiń bos múshesi teris bolsa (q <0), onda teńdeýdiń eki túrli, tańbaly eki túbiri bolady, túbirdiń modýli boıynsha úlkeni oń bolady, eger r <0 bolsa, teris bolady, eger r >0.      

Mysal:

x² + 4x – 5 = 0; x₁ = - 5 , x₂ = 1,   munda  q= - 5 < 0  ,  p = 4 > 0;

x² – 8x – 9 = 0; x₁  = 9  ı x₂ = - 1, munda q = - 9 < 0 , p = - 8 < 0.

---