InfoHub Logo

شىمكەنت اگرارلىق كوللەدجى
ۆف9-172 توبى ستۋدەنتى: ەشمىرزا بالجان
جەتەكشىسى: ماتەماتيكا ءپانى ءمۇعالىمى
زاريپوۆا ۇلجالعاس

 

مازمۇنى:
1. لوگاريفم تاريحى
2. لوگاريفم تۋرالى تۇسىنىك
3. لوگاريفمنىڭ تۇرلەرى
4. لوگاريفمنىڭ قاسيەتتەرى
5. لوگاريفمدىك فۋنكسيا جانە ونىڭ قاسيەتى مەن گرافيگى.
6. لوگاريفمدىك تەڭدەۋلەر مەن تەڭسىزدىكتەر

ەسەپتەۋ تاسىلدەرىن جەتىلدىرۋ XVII عاسىردىڭ وزەكتى سۇراقتارىنىڭ ءبىرى بولىپ تابىلدى. XVI عاسىردىڭ ەكىنشى جارتىسىندا ساۋدا جاساۋ گەوگرافياسىن كەڭەيتۋ ءۇشىن انگليا، فرانسيا، گوللانديا سياقتى مەملەكەتتەرگە قاراپايىم ەسەپتەۋلەر جۇرگىزەتىن ينجەنەرلەر مەن «اريفمەتيكتەرگە» دەگەن ۇلكەن سۇرانىس بولدى. لوگاريفمدى ويلاپ تابۋ – ەسەپتەۋ تەحنيكاسىنىڭ ۇلكەن جەتىستىگى. كۇردەلى تريگونومەتريالىق كەستەلەرمەن جۇمىس ىستەۋدى جەڭىلدەتۋ ماقساتىندا XVI عاسىرداعى كەيبىر ماتەماتيكتەر اريفمەتيكالىق جانە گەومەتريالىق پروگرەسسيالاردى سالىستىرۋمەن اينالىستى. وسى باعىتتا ۇلكەن جەتىستىكتەرگە قول جەتكىزگەن – شوتلاندىق ماتەماتيگى 1614 جىلى دجون نەپەر لوگاريفم كەستەسىن ويلاپ تاپقان بولاتىن. لوگاريم بەلگىسىنىڭ العاشقى نۇسقاسى log بەلگىلەۋىن 1624 جىلى نەمىس استرانومى يوگانن كەپلەر. لوگاريفمدىك سىزعىش جايلى دا ايتا كەتەيىن.

گۋنتەر لوگاريفمدىك سىزعىش ويلاپ تاپتى.

لوگاريفم (گرەكشە logos — قاتىناس جانە arءىthmos — سان). لوگاريفم بەلگىلەنۋى: log. لوگاريفمنىڭ جالپى ءتۇرى: Log_ab . لوگاريفم تۇرلەرى: وندىق lg جانە ln ناتۋرال لوگاريفم جايلى دا ايتۋعا بولادى. ە سانى يرراسيونال سان، e≈2.718.

اڭىقتاما.

b سانىنىڭ a نەگىزى بويىنشا لوگاريفمى دەپ x سانىن اتايمىز جانە بۇل ساندى log_a b دەپ بەلگىلەيمىز:

a^x =b، x= log_a b.

2³=8 تەڭدىگىندە 3 دارەجە كورسەتكىش، ال 8 شىعۋ ءۇشىن نەگىزى ەكىنى ءۇش دارەجەگە شىعارۋ كەرەكتىگىن بىلدىرەدى.

مىسال:

5⁰=0     (1/3)²=1/9      3^-2=1/9

انىقتاما: N سانىنىڭ ا نەگىزى بويىنشا لوگاريفمى دەپ N سانى تابىلاتىنداي ا سانىنىڭ دارەجە كورسەتكىشىن ايتادى. نەگىزى ا بولعانداعى ا سانىنىڭ لوگاريفمى log_a N سيمۆولىمەن بەلگىلەنەدى.

نەگىزى 10 بولعاندا log₁₀ N=lgN - وندىق لوگاريفم دەپ اتالادى.

ە بولعاندا log_e M=lgM - ناتۋرال لوگاريفم دەپ اتالادى.

لوگاريفمدەردىڭ قاسيەتتەرى:

 

 

لوگاريفمدىك فۋنكسيا جانە ونىڭ قاسيەتى مەن گرافيگى.

انىقتاما:  y=log_ax (a>0، a≠1) فورمۋلاسىمەن بەرىلگەن فۋنكسيانى لوگاريفمدىك فۋنكسيا دەپ اتالادى.

لوگاريفمدىك فۋنكسيانىڭ نەگىزگى قاسيەتتەرى:

1. لوگاريفمدىك فۋنكسيانىڭ انىقتالۋ وبلىسى - بارلىق وڭ ساندار جيىنى R₊، ياعني D(log_a)=R₊

شىنىندا دا الدىڭعىدا اتاپ كورسەتىلگەندەي، ءاربىر وڭ x سانىنىڭ ا نەگىزى بويىنشا لوگاريفمى بار بولادى.

2. لوگاريفمدىك فۋنكسيانىڭ ماندەرىنىڭ وبلىسى – بارلىق ناقتى ساندار جيىنى.

شىنىندا دا، لوگاريفمنىڭ انىقتاماسى بويىنشا كەز كەلگەن ناقتى y ءۇشىن مىنا تەڭدىك ورىندالادى:

log_a(a^y)=y               

ياعني y=log_ax فۋنكسياسى x₀=a^y0 نۇكتەسىندە y₀ ءمانىن قابىلدايدى.

3. لوگاريفمدىك فۋنكسيا بۇكىل انىقتالۋ وبلىسىندا وسەدى،(a>1 بولعاندا)، نە كەميدى (0

لوگاريفمدىك فۋنكسيالاردىڭ قاسيەتتەرى قولدانىلاتىن مىسالدار.

1-مىسال. مىنا فۋنكسيانىڭ انىقتالۋ وبلىسىن تابايىق: f(x)=log₈(4-5x)

لوگاريفمدىك فۋنكسيانىڭ انىقتالۋ وبلىسى R₊ - جيىنى. سوندىقتان بەرىلگەن فۋنكسيا تەك 4-5x>0 شارتى ورىندالاتىنداي x ماندەرىندە انىقتالعان، ياعني x<0.8. ولاي بولسا، بەرىلگەن فۋنكسيانىڭ انىقتالۋ وبلىسى (-∾، 0.8) ينتەرۆالى.

2-مىسال. مىنا فۋنكسيانىڭ انىقتالۋ وبلىسىن تابايىق. f(x)=log₂(x²-3x-4)  

الدىڭعى مىسالداعى سياقتى، f فۋنكسياسى x²-3x-4>0 شارتى ورىندالاتىنداي بارلىق x ماندەرىندە انىقتالعان. وسى كۆادرات تەڭسىزدىكتى شەشىپ، D(f)  دەگەنىمىز (-∾،-1)Ú(4،+∾) ينتەرۆالدارىنىڭ بىرىگۋى ەكەنىن تابامىز.

مىسالى: y=log₃x جانە y=log₅x فۋنكسيالارىنىڭ گرافيگىن سالۋ كەرەك.

شەشۋى: 

1)  y=log₃x

ح	1/9	1/3	1	3	9
ۋ	-2	-1	0	1	2

                                                                                                           

2) y=log₅x

ح	1/25	1/5	1	5	25
ۋ	-2	-1	0	1	2

لوگاريفمدىك تەڭدەۋلەر مەن تەڭسىزدىكتەر جانە ولاردى شەشۋ.

انىقتاما: اينىمالىسى لوگاريفم بەلگىسىنىڭ ىشىندە بولاتىن تەڭدنۋدى لوگاريفمدىك تەڭدەۋ دەپ اتايمىز. ەڭ قاراپايىم لوگاريفمدىك تەڭدەۋدى قاراستىرايىق log_ax=b. لوگاريفمدىك فۋنكسيا (0،∾) ارالىعىندا وسەدى (نە كەميدى) جانە وسى ارالىقتا بارلىق ناقتى ماندەردى قابىلدايدى. ءتۇبىر تۋرالى تەورەما بويىنشا كەز كەلگەن b ءۇشىن بەرىلگەن تەڭدەۋدىڭ ءتۇبىرى بار جانە ول تەك بىرەۋ عانا بولاتىندىعى شىعادى. ساننىڭ لوگاريفمىنىڭ انىقتاماسى بويىنشا a^b سانى سول شەشىم ەكەندىگى بىردەن تابىلادى. لوگاريفمدىك تەڭدەۋلەردى شەشۋدىڭ بىرنەشە ادىستەرى بار:

1. لوگاريفمنىڭ انىقتاماسىن قولدانۋ ارقىلى شىعارىلاتىن تەڭدەۋلەر. 

مىسال - . log_x(x³-5x+10)=3 تەڭدەۋىن شەشەيىك.
شەشۋى: لوگاريفمنىڭ انىقتاماسى بويىنشا x³-5x+10=x³، وندا بۇل تەڭدەۋدىڭ شەشىمى  x=2.
تابىلعان اينىمالىنىڭ ءمانىن تەڭدەۋگە قويىپ تەكسەرەمىز:
log₂(2³-5*2+10)=log₂8=log₂2³=3log₂2=3
دەمەك، x=3 ءمانى تەڭدەۋدى قاناعاتتاندىرادى.              
جاۋابى: x=2.

2. پوتەنسيالداۋدى قولدانۋ ارقىلى لوگاريفمدىك تەڭدەۋلەردى شەشۋ. جاڭا اينىمالى ەنگىزۋ ءادىسى. مۇشەلەپ لوگاريفمدەۋ ءادىسى. 

3. جاڭا اينىمالى ەنگىزۋ ءادىسى.

4. مۇشەلەپ لوگاريفمدەۋ ءادىسى.

x^log₂x-2=8 تەڭدەۋىن شەشەيىك.

شەشۋى: 

بەرىلگەن تەڭدەۋدى بىلاي جازايىق: x^log₂x*x^-2=8 نەمەسە  x^log₂x=8x²

شىققان تەڭدەۋدى نەگىزىن 2 – گە تەڭ ەتىپ لوگاريفمدەيىك:

log₂x*log₂x=log₂8+log₂x²

log²₂x=3+2log₂x

log²₂x-2log₂x-3=0

دەمەك، 

1) log₂x=3، وسىدان x₁=8

2) log₂x=-1، وسىدان x₂=1/2.

تەكسەرۋ:

1) 8^log₂8-2=8 نەمەسە 8^3-2=8،  8=8.

2) (1/2)^{log₂(1/2)​-2}=8 نەمەسە (1/2)^-3=8، 8=8.

جاۋابى: x₁=8؛ x₂=1/2.

پايدالانىلعان ادەبيەتتەر:

1. الگەبرا جانە اناليز باستامالارى. 11-سىنىپقا ارنالعان وقۋلىق. الماتى «اتامۇرا» 2007ج.
2. ش.بەكباۋلييەۆا، ق.ي.قاڭلىبايەۆا. الگەبرا جانە اناليزگە كىرىسپە. «انا ءتىلى» الماتى 1991ج.
3. ا.ءابىلقاسىموۆا، ر.كۋداكوۆا. الگەبرا جانە اناليز باستامالارى. «انا ءتىلى» الماتى 1991ج.
4. ا.ن كولموگوروۆ. الگەبرا جانە اناليز باستامالارى 10-11 سىنىپقا ارنالعان وقۋلىق. «راۋان» الماتى 1998ج.
5. ا.ءابىلقاسىموۆا. الگەبرا جانە اناليز باستامالارى 10 سىنىپقا ارنالعان وقۋلىق. «مەكتەپ» الماتى 2009ج.
6. ا.ءابىلقاسىموۆا الگەبرا جانە اناليز باستامالارى 11 سىنىپقا ارنالعان وقۋلىق. «مەكتەپ» الماتى 2007ج.

---