InfoHub Logo

جامگيربايەۆا ماكبال اسيلبەكوۆنا
«تاراز-بولاشاق» مەديسينالىق كوللەدجى» ج ش س

لوگاريفم ەڭ الدىمەن 16 عاسىردا استرونوميانىڭ تەز دامۋىنا، استرونوميالىق باقىلاۋلاردى انىقتاي تۇسۋگە جانە استرونوميالىق  ەسەپتەۋلەر قورىتىندىلارىنىڭ كۇردەلەنە تۇسۋىنە بايلانىستى اشىلدى. العاشقى لوگاريفم تابليسالارىنىڭ اۆتورى گەومەتريالىق پروگرەسسيامەن ونىڭ مۇشەلەرىنىڭ دارەجە كورسەتكىشتەرىنەن قۇرالعان  اريفمەتيكالىق پروگرەسسيانىڭ قاسيەتتەرىنىڭ اراسىنداعى تاۋەلدىلىكتى پايدالانعان. بۇل تاۋەلدىلىكتەردى كەزىندە ارحيمەد (ب.ز.ب. 3 ع) ، فرانسۋز ماتەماتيگى ن.شيۋكە (1484ج) مەن نەمىس ماتەماتيگى م.شتيفەل دە (1544) جاقسى بىلگەن. العاشقى لوگاريفمدىك تابليسالاردى ءبىر مەزگىلدە جانە بىر-بىرىنە تاۋەلسىز د.نەپەر (1614-1619) جانە شۆەيساريا ماتەماتيگى ي.بيۋرگي (1620) قۇراستىرعان.

لوگاريفمدى تەوريالىق تۇرعىدان زەرتتەۋدە ماڭىزدى قادام جاساعان بەلگيا ماتەماتيگى گريگوريي (1647) بولدى. لوگاريفم تەورياسىنىڭ ماڭىزى زور بولعان. ول لوگاريفم ۇعىمىن دارەجەلەۋ كەرى امال رەتىندە بەرگەن. لوگاريفم تەرمينىن د.نەپەر ۇسىنعان. ول گرەكتىڭ logos (مۇندا قاتىناس) جانە arithmos (سان) دەگەن سوزدەرىن قۇراستىرۋدان پايدا بولعان. ەجەلگى ماتەماتيكادا كۆادرات، كۋب ت.ب. ا\ۆ=k تۇرىندەگى قاتىناستاردى “ەكىلىك” ،”ۇشتىك” ت.ب. قاتىناستار دەپ اتايدى. سونىمەن نەپەر ۇشتىك “logu arithmos” دەگەن سوزدەر قاتىناستاستىڭ سانىن (ەسەلىگىن) كورسەتەدى، ياعني د.نەپەرشە لوگاريفم –ەكى سانىنىڭ قاتىناسىن ولشەۋگە ارنالعان كومەكشى سان.

لوگاريفمدەۋ – ساننىڭ، الگەبرالىق ورنەكتىڭ لوگاريفمىن تابۋ امالى. N سانىنىڭ نەگىزى ا بولعانداعى (ا>1)،(ا≠ 1) لوگاريفمى دەپ، N سانى شىعۋ ءۇشىن ا سانى (لوگاريفم نەگىزى) دارەجەلەنەتىن n دارەجە كورسەتكىشىن ايتادى. N سانىنىڭ نەگىزى ا بولعانداعى لوگاريفمى بىلاي بەلگىلەنەدى: log^اN. انىقتاما بويىنشا log^اN جانە a=N تەڭدىگى ماندەس. بۇدان تەك وڭ سانداردىڭ عانا لوگاريفمى بولادى دەگەن قورىتىندى شىعادى، ويتكەنى ا>0.

وڭ ساننىڭ بەرىلگەن نەگىزىندە ءبىر عانا ناقتى لوگاريفمى بولادى تەرىس سانداردىڭ لوگاريفمدەرى كومپلەكس ساندار بولىپ تابىلادى (م مەن N –وڭ ساندار).

لوگاريفمنىڭ نەگىزگى قاسيەتتەرى سانداردى كوبەيتۋ مەن ءبولۋدى ولاردىڭ لوگاريفمىن قوسۋ مەن ازايتۋعا، ال دارەجەنىڭ نەمەسە ءتۇبىردىڭ كورسەتكىشىنە كوبەيتۋ مەن بولۋگە، ياعني ءبىرشاما وڭاي امالدارعا كەلتىرۋگە مۇمكىندىك بەرەدى.

ەگەر لوگاريفمنىڭ نەگىزى، ياعني ا سانى 10-عا تەڭ بولسا ونداي لوگاريفمدى وندىق لوگايفم دەپ اتايدى دا، lgN تۇرىندە بەلگىلەيدى (وندىق ساناۋ جۇيەسىندە الىنعاندىقتان، ول ءجيى قولدانىلادى)، 10، p/q سانىنان وزگە (مۇنداعى p مەن q ءبۇتىن ساندار) N سانىنىڭ وندىق لوگاريفمى يرراسيونال سان، سوندىقتان تابليسالاردا مۇنداي لوگاريفمدەر جۋىق تۇردە شەكتى وندىق بولشەكپەن بەرىلەدى. وندىق لوگاريفمنىڭ ءبۇتىن بولىگى ونىڭ حاراكتەريستيكاسى، ال بولشەك بولىگى مانتيسساسى دەپ اتالادى. مىسالى، lg200=2،3010 مۇنداعى 2-لوگاريفمنىڭ حاراكتەريستيكاسى، ال 0،3010-مانتيسساسى lg10. N=k+lgN بولعاندىقتان، aيىرماشىلىعى 10 كوبەيتكىشىندە عانا بولاتىن سانداردىڭ، ال حاراكتەريستيكالارى ءار ءتۇرلى لوگاريفم تابليسالارى وسى قاسيەتكە  نەگىزدەلىپ جاسالعان، وندا سانداردىڭ تەك مانتيسسالارى عانا بەرىلەدى.

جالپى ماتەماتيكا مەن تەوريالىق ماسەلەلەردە نەگىزگى ە ≈ 2،71828... ترانسەندەنت سانعا تەڭ بولاتىن لوگاريفمنىڭ ماڭىزى زور. ول ناتۋرال لوگاريفم دەپ اتالادى دا lnN تۇرىندە بەلگىلەنەدى. ءبىر نەگىزدى لوگاريفمنەن ەكىنشى نەگىزدى لوگاريفمگە اۋىسۋى ءۇشىن log N =log N/ log b فورمۋلاسى قولدانىلادى.

لوگاريفم تۇسىنىگىنە توقتالعاندا كورسەتكىشتىك فۋنكسيانىڭ قاسيەتتەرىنەن تۋىندايتىن ولاردىڭ مىناداي قاسيەتتەرى قولدانىلادى:

كەز كەلگەن ا>0 (a≠1) جانە كەز كەلگەن وڭ x پەن ۋ ماندەرىندە مىنا تەڭدىكتەر ورىندالادى:

1. log^ا1=0؛

2. log^اa=1؛

3. log^اxy=log^اx+log^اy؛

4. log^ا=log^اx–log^اy؛

5. log^اx^p=plog^ax.

كەز كەلگەن ناقتى ر سانى ءۇشىن.

قىسقاشا: دارەجەنىڭ لوگاريفمى وسى دارەجەنىڭ كورسەتكىشى مەن سول دارەجە نەگىزى لوگاريفمىنىڭ كوبەيتىندىسىنە تەڭ بولادى دەيدى.

لوگاريفمدەردىڭ نەگىزگى قاسيەتتەرى لوگاريفم ەنەتىن ورنەكتەردى تۇرلەندىرۋ بارىسىندا كەڭىنەن قولدانىلادى. مىسالى، لوگاريفمنىڭ ءبىر نەگىزىنەن ەكىنشىسىنە كوشۋ فورمۋلاسىن دالەلدەپ بەرەيىك:

logx = .

بۇل فورمۋلا تەندىكتىڭ ەكى جاق بولىگىنىڭ دە ماعىناسى بولعاندا، ياعني  x>0، ا>0 جانە a≠1، b>0 جانە b ≠1 بولعاندا عانا تۋرا.

دارەجەنى لوگاريفمدەۋ ەرەجەسى مەن نەگىزگى لوگاريفمدىك تەڭدىكتى پايدالانىپ، مىنانى تابامىز:

logx=log(a)

بۇدان

logx =logx·loga

وسى تەڭدىكتىڭ ەكى جاعىن دا log^b- عا ءبولىپ، قاجەت فورمۋلانى شىعارىپ الامىز. قانداي دا ءبىر b نەگىزى ءۇشىن، لوگاريفمدەر كەستەسى قولدا بار بولسا، كوشۋ فورمۋلاسىن پايدالانىپ، نەگىزى كەز كەلگەن ا سانى بولاتىن لوگاريفمنىڭ ءمانىن تابا الامىز. وندىق جانە ناتۋرال لوگاريفمدەردىڭ كەستەسى اسا كوپ قولدانىلادى.

مىسالى log^0.37–ءىن تابايىق. كالكۋلياتوردى (نەمەسە كەستەنى) پايدالانىپ، مىنانى تابامىز lg7≈0،8451 جانە lg0،3≈0،477؛  -1= -0،5229 ولاي بولسا، كوشۋ فورمۋلاسى بويىنشa log^0.37≈ =-1،6162.

مىسالى log²5=a جانە log²3=b ەكەنى بەلگىلى log²300ء-ىن ا مەن b ارقىلى ورنەكتەيىك. لوگاريفمدەردىڭ نەگىزگى قاسيەتتەرىن پايدالانىپ، مىنانى تابامىز:

log²300=log²(3∙5²∙2²)=log²3+2log²5+2log²2=b+2a+2.

مىسالى 8a³ ورنەگىنىڭ 2 نەگىزى بويىنشا لوگاريفمنىڭ ا مەن b ساندارىنىڭ نەگىزى 2 بولاتىن لوگاريفمدەر ارقىلى ورنەكتەيىك (قىسقاشا بىلاي دەيدى: بەرىلگەن ورنەكتى 2 نەگىزى بويىنشا لوگاريفمدەيمىز).

لوگاريفمدەردىڭ نەگىزگى قاسيەتتەرىن پايدالانىپ، مىنانى تابامىز:

log(8a)=log (2∙a∙b)=3 log2+3loga+logb=3+3loga+logb.

انىقتاما. مىنا فورمۋلامەن بەرىلگەن

y=log^ax   (1)

فۋنكسيانى نەگىزى ا بولاتىن لوگاريفمدىك فۋنكسيا دەپ اتايدى.

لوگاريفمدىك فۋنكسيانىڭ نەگىزگى قاسيەتتەرىن اتاپ وتەيىك.

1. لوگاريفمدىك فۋنكسيانىڭ انىقتالۋ وبلىسى – بارلىق وڭ ساندار جيىنى R، ياعني D (log^a)=R.

شىنىندا دا، جوعارىدا كورسەتىلگەندەي–اق، ءاربىر وڭ ح سانىنىڭ نەگىزى بويىنشا لوگاريفمى بولادى.

2. لوگاريفمدىك فۋنكسيانىڭ ماندەرىنىڭ وبلىسى – بارلىق ناقتى ساندار جيىنى.

شىنىندا دا، لوگاريفمنىڭ انىقتاماسى بويىنشا كەز كەلگەن ناقتى ۋ ءۇشىن مىنا تەڭدىك ورىندالادى:

log^a(a^y)=y 

ياعني y=log^ax فۋنكسياسى x⁰=a^y0 نۇكتەدە y⁰ ءمانىن قابىلدايدى.

3. لوگاريفمدىك فۋنكسيا بۇكىل انىقتالۋ وبلىسىندا وسەدى ( ا>1 بولعاندا)، نە كەميدى (0<ا<1 بولعاندا).

مىسالى، ا>1 بولعاندا فۋنكسيانىڭ وسەتىنىن دالەلدەيىك (ال 0<ا<1 بولعاندا وسىعان ۇقساس تۇردە پايىمدالادى).

ايتالىق، ح¹ مەن ح² - قالاۋىمىزشا الىنعان وڭ ساندار جانە ح²>ح¹ بولسىن. سوندا log^ax²>log^ax¹ بولاتىنىن دالەلدەۋ كەرەك كەرى جوريىق، ياعني بىلاي دەلىك:

log^ax²ax¹    (3)

كورسەتكىشتىك ۋ=a^x فۋنكسياسى ا>1 بولعاندا وسەتىن سەبەپتى، (3) تەڭسىزدىكتەن مىناۋ شىعادى:

a≤a   (4)

ال ءبىراق تا a=x، a=x  (لوگاريفمنىڭ تاپسىرماسى بويىنشا)، ياعني (4) تەڭسىزدىكتەن ح²≤ح¹ شىعادى. Aل مۇنىڭ ءوزى ح²>ح¹ دەگەن ۇيعارىمعا قايشى.

1-مىسال. مىنا فۋنكسيانىڭ انىقتالۋ وبلىسىن تابايىق:

f(x)=log⁸(4-5x).

لوگاريفمدىك فۋنكسيانىڭ انىقتالۋ وبلىسى - R جيىنى. سوندىقتان بەرىلگەن فۋنكسيا تەك 4-5ح>0 شارتى ورىندالاتىنداي ح ماندەرىندە عانا انىقتالعان، ياعني ح<0،8. ولاي بولسا، بەرىلگەن فۋنكسيانىڭ انىقتالۋ وبلىسى (- ؛ 0،8) ينتەرۆالى.

ەڭ قاراپايىم لوگاريفمدىك فۋنكسيانى قاراستىرايىق log^ax=b. لوگاريفمدىك فۋنكسيا (0؛ ) ارالىعىندا وسەدى (نە كەميدى) جانە وسى ارالىقتا بارلىق ناقتى سانداردى قابىلدايدى. ءتۇبىر تۋرالى تەورەما بويىنشا، بۇدان كەز كەلگەن b ءۇشىن بەرىلگەن تەڭدەۋدىڭ ءتۇبىرى بار جانە ول تەك بىرەۋ عانا بولاتىندىعى شىعادى. ساننىڭ لوگاريفمىنىڭ انىقتاماسىنان ا^b سانى سول شەشىم ەكەندىگى بىردەن تابىلادى.

تەڭدەۋدى شەشەيىك log²(x²+4x+3)=2.

بەرىلگەن تەڭدەۋدى ءح-تىڭ x+4x+3=2 تەڭدىگى ورىندالاتىنداي ماندەرى عانا قاناعاتتاندىرادى. سونىمەن، x+4x-5=0 كۆادرات تەڭدەۋ شىقتى. ونىڭ تۇبىرلەرى: 1 مەن -5 ساندارى. ولاي بولسا، بەرىلگەن تەڭدەۋدىڭ شەشىمى ەكى سان، ولار: 1 مەن -5.

2-مىسال. تەڭدەۋدى شەشەيىك log⁵(2x+3)=log⁵(x+1). بۇل تەڭدەۋ ءح-تىڭ تەك 2x+3>0 جانە x+1>0 تەڭسىزدىكتەر ورىندالاتىنداي ماندەرىندە عانا انىقتالادى. ءح-تىڭ ماندەرى ءۇشىن بەرىلگەن تەڭدەۋ 2x+3=x+1 تەڭدەۋىمەن ماندەس. بۇدان x=-2 ەكەنىن تابامىز. ال x=-2 سانى ح+1>0 تەڭسىزدىگىن قاناعاتتاندىرمايدى. ولاي بولسا، بەرىلگەن تەڭدەۋدىڭ تۇبىرلەرى بولمايدى.

الدىمەن لوگاريفمدىك فۋنكيانىڭ ءاربىر نۇكتەدە ديففەرەنسيالداناتىنىن كورسەتەيىك. y=log^ax پەن y=a^x فۋنكسيالارىنىڭ گرافيكتەرى ۋ=ح تۇزۋىنە قاتىستى سيممەتريالى. كورسەتكىشتىك فۋنكسيا كەز كەلگەن نۇكتەدە ديففەرەنسيالداناتىن بولىپ، ال ونىڭ تۋىندىسى نولگە اينالمايتىن بولعاندىقتان، كورسەتكىشتىك فۋنكسيا گرافيگىنىڭ ءاربىر نۇكتەدەگى جاناماسى گوريزونتال بولماي شىعادى. سوندىقتان لوگاريفمدىك فۋنكسيا گرافيگىنىڭ كەز كەلگەن نۇكتەدەگى جاناماسى ۆەرتيكال بولىپ شىعادى. ال وسىنىڭ ءوزى-اق لوگاريفمدىك فۋنكسيا ءوزىنىڭ انىقتالۋ وبلىسىندا ديففەرەنسيالدانادى دەگەن ءسوز.

ەندى انىقتالۋ وبلىسىنان الىنعان كەز كەلگەن ح ءۇشىن لوگاريفمدىك فۋنكسيانىڭ تۋىندىسى

lnx=    (5).

نەگىزى ا>1، 0<ا<1 بولعانداعى لوگاريفمدىك فۋنكسيانىڭ گرافيگى ادەتتە مەديسينانىڭ كارديولوگيا (ەكگ) سالاسىندا ءجيى قولدانىلادى.

ادەبيەتتەر ءتىزىمى:
1. قازاق ەنسيكلوپەدياسى. توم 7.
2. ك.د.شويىنبەكوۆ  اناليز باستامالارى وقۋ قۇرالى الماتى: «ءبىلىم» 2002ج.
3. ا.ن.كولموگوروۆ الگەبرا جانە اناليز باستامالارى الماتى: «مەكتەپ». 2001ج.

---